a. Tính số đo góc ở tâm chắn cung BI
Ta có: OA là đường trung trực của BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra: OA vuông góc với BC tại H (H là trung điểm của BC).
Tam giác OAB cân tại O (OA = OB = bán kính).
Gọi I là giao điểm của OA và BC.
Vì OA = 2R và OB = R nên tam giác OAB vuông tại B (định lý Pitago đảo).
Do đó, góc AOB = 90 độ.
Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB.
Vậy góc ở tâm chắn cung BI cũng bằng 90 độ (vì BI là một phần của cung AB).
Kết luận: Số đo góc ở tâm chắn cung BI là 90 độ.
b. Chứng minh BC vuông góc với OI tại trung điểm của OI:
Như đã phân tích ở trên, OA vuông góc với BC tại H (H là trung điểm của BC).
Mà OI là một phần của OA.
Vậy BC vuông góc với OI tại H, mà H là trung điểm của BC nên H cũng là trung điểm của OI.
Kết luận: BC vuông góc với OI tại trung điểm của OI.
c. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến AB và AC và cung nhỏ BC
Phần mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến AB và AC và cung nhỏ BC là một hình quạt tròn trừ đi một tam giác cân.
Góc ở tâm AOB = 90 độ, tương ứng với 1/4 đường tròn.
Diện tích hình tròn (O) là: πR².
Diện tích hình quạt OBC: (1/4)πR².
Tam giác OBC vuông cân tại O (OA = OB = OC = R).
Diện tích tam giác OBC: (1/2)R².
Diện tích phần cần tìm = Diện tích hình quạt OBC - Diện tích tam giác OBC = (1/4)πR² - (1/2)R² = R²(π/4 - 1/2).
Kết luận: Diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến AB và AC và cung nhỏ BC là R²(π/4 - 1/2).