a) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O):
Ta có: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) => góc MAO = 90 độ
Xét tứ giác MAHO có:
góc MAO = 90 độ
góc AHO = 90 độ (AH vuông góc với OM)
=> Tứ giác MAHO nội tiếp đường tròn đường kính MO
=> góc MHA = góc MOA (cùng chắn cung AH)
Mà góc MOA = góc MBA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)
=> góc MHA = góc MBA
Xét ΔMHA và ΔMBA có:
góc MHA = góc MBA (cmt)
góc AMH chung
=> ΔMHA đồng dạng với ΔMBA (g.g)
=> MA/MB = MH/MA => MA² = MH.MB
Mà MA² = MH.MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO)
=> MH.MB = MH.MO => MB = MO
Vậy MB = bán kính của đường tròn (O). Mà MB cắt đường tròn (O) tại B nên MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh OH.OM = OI.OC:
Xét ΔOHM và ΔOIC có:
góc O chung
góc OHM = góc OIC = 90 độ
=> ΔOHM đồng dạng với ΔOIC (g.g)
=> OH/OI = OM/OC => OH.OC = OI.OM
c) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O):
Ta có: AD là đường kính của đường tròn (O) => góc ABD = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác ABDC có:
góc ABD = 90 độ
góc ACD = 90 độ (OC vuông góc với MD)
=> Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AD
=> góc CBD = góc CAD (cùng chắn cung CD)
Mà góc CAD = góc OBM (cùng phụ với góc MOA)
=> góc CBD = góc OBM
Xét ΔCBD và ΔOBM có:
góc CBD = góc OBM (cmt)
góc CDB = góc OMB = 90 độ
=> ΔCBD đồng dạng với ΔOBM (g.g)
=> CD/OM = BD/BM
Mà BD = MA (do ΔABD = ΔMBA) và MB = MO (cmt)
=> CD/OM = MA/MO => CD = MA
Mà MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) => CD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O).