Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = -\left( \frac{4}{9}x - \frac{2}{15} \right)^{6} + 2024 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = -\left( \frac{4}{9}x - \frac{2}{15} \right)^{6} + 2024 \), ta phân tích như sau:

1. **Xác định giá trị của biểu thức bên trong dấu nhọn**:
\[
y = \frac{4}{9}x - \frac{2}{15}
\]
Nếu biến \( y \) là một số thực, thì \( y^6 \) sẽ luôn không âm vì \( y^6 \geq 0 \).

2. **Maximize \( A \)**:
Biểu thức \( -y^6 \) đạt giá trị lớn nhất khi \( y^6 \) nhỏ nhất, tức là:
\[
y^6 = 0 \implies y = 0
\]

3. **Tìm giá trị của \( x \) khi \( y = 0 \)**:
\[
\frac{4}{9}x - \frac{2}{15} = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
\frac{4}{9}x = \frac{2}{15} \implies x = \frac{2}{15} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{10}
\]

4. **Tính giá trị của \( A \) tại \( x = \frac{3}{10} \)**:
\[
A = -0 + 2024 = 2024
\]

5. **Kết luận**:
Vì \( -\left( \frac{4}{9}x - \frac{2}{15} \right)^{6} \) có giá trị nhỏ nhất là 0, nên giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
\boxed{2024}
\]