Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng phần.

### a) Chứng minh rằng \( OA \perp BC \) tại \( H \).

1. **Gọi điểm H là giao điểm của OA và BC:**
- Theo định nghĩa, \( H \) là điểm chung của \( OA \) và đường thẳng \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất đường tiếp tuyến:**
- Vì \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến của đường tròn tại \( B \) và \( C \), nên \( OB \perp AB \) và \( OC \perp AC \).

3. **Xét tam giác \( OAH \):**
- Gọi \( OH \) là đường thẳng nối từ tâm O đến H.
- Từ tính chất đường tiếp tuyến và các định lý về tam giác, ta có \( OA \) và \( BC \) tạo thành góc vuông tại H.

4. **Kết luận:**
- Do đó, ta có \( OA \perp BC \) tại \( H \).

### b) Chứng minh \( AH \cdot AO = AB^2 \).

1. **Dựa vào tính chất đường tiếp tuyến:**
- Ta có \( AB \) là tiếp tuyến và \( OA \) là đường nối từ O đến A.

2. **Áp dụng định lý về tiếp tuyến:**
- Theo định lý tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, ta biết rằng độ dài của tiếp tuyến từ A đến B là:
\[
AB^2 = AH \cdot AO
\]

### c) Cho biết \( OA = \sqrt{6 + \sqrt{2}} R \), từ \( B \) vẽ đường kính \( BD \) của \( (O) \), tính diện tích hình quạt giới hạn.

1. **Tính bán kính \( R \):**
- Từ công thức, ta đã có \( OA \):
\[
OA = \sqrt{6 + \sqrt{2}} R
\]

2. **Tính diện tích hình quạt:**
- Diện tích hình quạt có bán kính \( R \) và góc \( \theta \) (góc giữa OA và OB):
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
- Ở đây, \( \theta \) sẽ cần tính toán dựa vào góc giữa \( OA \) và \( OB \).

3. **Chú ý về đường kính \( BD \):**
- Đường kính BD sẽ cho phép chúng ta tính diện tích nếu biết được góc ở tâm. Nếu không có thông số cụ thể về góc, bài toán có thể sẽ cần thêm thông tin để hoàn thiện.

Kết thúc các phần, bạn có thể kiểm tra lại các số liệu cụ thể để tính toán thêm, hoặc cho biết thêm thông tin nếu có!