Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

**a) Tứ giác MDEF là hình gì? Vì sao?**

Tam giác MNP vuông tại M có D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP. Ta sẽ xem xét các vector liên quan đến các điểm này.

- \( \overrightarrow{D} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N}) \)
- \( \overrightarrow{E} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{N} + \overrightarrow{P}) \)
- \( \overrightarrow{F} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P}) \)

Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh rằng tứ giác MDEF là một hình thoi (parallelogram).

Tính vector:
- \( \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) \)
- \( \overrightarrow{E} - \overrightarrow{F} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) \)

Vậy:
- \( \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{D} \) và \( \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{M} \) đều cùng hướng và cùng độ dài nên \( MDEF \) là một hình thoi.

**b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh 3 điểm N, I, F thẳng hàng.**

- \( \overrightarrow{I} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{D} + \overrightarrow{E}) \)

Tính toán:
\[
\overrightarrow{D} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N}), \quad \overrightarrow{E} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{N} + \overrightarrow{P})
\]
Đưa dữ liệu vào:
\[
\overrightarrow{I} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{N} + \overrightarrow{P}) \right)
= \frac{1}{4}(\overrightarrow{M} + 2 \overrightarrow{N} + \overrightarrow{P})
\]

Để chứng minh N, I, F thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng vector \( \overrightarrow{NI} \) là một bội số của vector \( \overrightarrow{NF} \):
- Tính vector:
\[
\overrightarrow{NI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{N} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{M} + 2\overrightarrow{N} + \overrightarrow{P}) - \overrightarrow{N}
= \frac{1}{4}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P} - 2\overrightarrow{N})
\]

- Tính vector \( \overrightarrow{NF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{N} \):
\[
\overrightarrow{F} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P}) \implies \overrightarrow{NF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P}) - \overrightarrow{N}
= \frac{1}{2}\overrightarrow{M} + \frac{1}{2}\overrightarrow{P} - \overrightarrow{N}
\]

Hai vector này đều được liên kết với nhau qua factor nhân, cho thấy \( I, N, F \) là thẳng hàng.

Kết luận: N, I, F thẳng hàng, và MDEF là hình thoi.