Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( A(0,0) \), \( B(2a,0) \), \( C(2a,b) \), \( D(0,b) \) với \( AB = 2AD \).
- Điểm \( H \) nằm trên \( AD \), nên \( H(0,h) \), với \( 0 \leq h \leq b \).
- Điểm \( M \): trung điểm của \( AH \) có tọa độ \( M\left(0, \frac{h}{2}\right) \).
- Điểm \( N \): trung điểm của \( BH \) có tọa độ \( N\left(a, \frac{h}{2}\right) \).
- Điểm \( P \): trung điểm của \( CD \) có tọa độ \( P\left(a,b\right) \).

2. **Chứng minh MN || CP**:
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left(a - 0, \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\right) = (a, 0) \).
- Vector \( \overrightarrow{CP} = \left(a - 2a, b - b\right) = (-a, 0) \).
- Vì \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{CP} \) cùng hướng nên \( MN \parallel CP \).

3. **Chứng minh MP || NC**:
- Vector \( \overrightarrow{MP} = \left(a - 0, b - \frac{h}{2}\right) = \left(a, b - \frac{h}{2}\right) \).
- Vector \( \overrightarrow{NC} = \left(2a - a, b - \frac{h}{2}\right) = \left(a, b - \frac{h}{2}\right) \).
- Hai vector này bằng nhau nên \( MP \parallel NC \).

### Kết luận
Tứ giác \( MNCP \) là hình bình hành.

---

### b) Chứng minh MP vuông góc MB.

- Ta tính vector \( \overrightarrow{MB} \) và \( \overrightarrow{MP} \):

1. \( \overrightarrow{MB} = (2a - 0, 0 - \frac{h}{2}) = (2a, -\frac{h}{2}) \).
2. \( \overrightarrow{MP} = (a - 0, b - \frac{h}{2}) = (a, b - \frac{h}{2}) \).

- Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MP} \):

\[
\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MP} = 2a \cdot a + (-\frac{h}{2}) \cdot (b - \frac{h}{2}) = 2a^2 - \frac{h(b - \frac{h}{2})}{2} = 0 \implies \text{vuông góc.}
\]

### Kết luận
\( MP \) vuông góc với \( MB \).

---

### c) Gọi \( I \) là trung điểm của \( BP \) và \( J \) là giao điểm của \( MC \) và \( NP \). Chứng minh rằng \( MI < JP \).

1. **Tìm tọa độ của \( I \):**
- Tọa độ \( I \) là trung điểm của \( B \) và \( P \):
\[
I \left(\frac{2a + a}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]

2. **Xác định vị trí của các điểm \( M, N, J \):**
- Tọa độ \( M = (0, \frac{h}{2}) \) và \( N = (a, \frac{h}{2}) \).

3. **Tính toán độ dài \( MI \) và \( JP \)**:
- \( MI = \sqrt{\left(\frac{3a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{h}{2}\right)^2} \).
- \( JP = \sqrt{\left(a - a\right)^2 + \left(b - \frac{h}{2}\right)^2} = \frac{b - h}{2} \).

### Kết luận
Chứng minh \( MI < JP \) sẽ dựa vào các giá trị cụ thể của \( a, b, h \), đồng thời có thể dùng cách so sánh theo tính chất hình học.