a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) ⇒ˆABO=ˆACO=90∘⇒ABO^=ACO^=90∘.

Xét tứ giác ABOC có:

ˆABO+ˆACO=90∘+90∘=180∘ABO^+ACO^=90∘+90∘=180∘.

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.

Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)

Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).

Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)

Từ (1), (2) Þ DC // OA.

c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)

Ta có: ˆODE+ˆOBC=90∘ODE^+OBC^=90∘;

ˆOBC+ˆBOA=90∘OBC^+BOA^=90∘.

Suy ra ˆODE=ˆBOAODE^=BOA^.

Xét ∆BOA và ∆ODE có:

ˆODE=ˆBOAODE^=BOA^ (cmt)

ˆDOE=ˆOBA=90∘DOE^=OBA^=90∘

OB = OD = R

Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)

Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))

Suy ra OE = AC (4)

Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.

d) Ta có: ˆSOI+ˆAOB=90∘SOI^+AOB^=90∘

ˆAOB+ˆOAB=90∘AOB^+OAB^=90∘

ˆOAB=ˆSAOOAB^=SAO^

Suy ra ˆSOA=ˆSAOSOA^=SAO^ Þ ∆SOA cân tại S

Lại có SI là đường trung tuyến (OI=IA=OA2=R)(OI=IA=OA2=R)

Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)

Ta có ∆KAS có ˆKAI=ˆSAIKAI^=SAI^

AI ^ KS suy ra KI = SI.

Mà OI ^ AI

Suy ra OKAS là hình bình hành (6)

Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.

Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R

⇒ˆOAB=30∘⇒tanˆOAB=tan30∘=KIAI⇒OAB^=30∘⇒tan⁡OAB^=tan⁡30∘=KIAI

⇒KI=tan30∘.AI=√33R⇒KI=tan⁡30∘.AI=33R

⇒KS=2√33R⇒KS=233R.

Vậy SAKOS=OA.SK2=2R.2√33R2=2√33R2.