Để giải bài toán này, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết.

Cho tam giác ABC với các điểm như sau:

- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- \( BC = 6 \) cm.
- \( K \) là một điểm sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( KN \).

Để làm rõ, chúng ta sẽ nêu các bước tiếp theo cho từng phần câu hỏi:

### a. Tính \( MN \)

Ta có hai điểm \( M \) và \( N \) là trung điểm của các cạnh tam giác. Do đó, ta có thể áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác.

Trong một tam giác, trung điểm của hai cạnh thì đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm này song song và bằng nửa độ dài cạnh còn lại.

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]
\[
MN = \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} = 3 \text{ cm}
\]

### b. Tứ giác \( AKBN \) là hình gì? Tại sao?

Tứ giác \( AKBN \) có các điểm như sau:

- \( A \)
- \( K \)
- \( B \)
- \( N \)

Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), mà \( KN \) được xác định sao cho \( M \) là trung điểm của \( KN \), nên ta có:

- \( AN \) song song với \( BK \) (do \( M \) là trung điểm).
- \( AM \) song song với \( BN \).

Do đó, tứ giác \( AKBN \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

### c. Chứng minh rằng \( KB = NC \)

Để chứng minh rằng \( KB = NC \), chúng ta sử dụng tính chất của hình bình hành.

1. Trong tứ giác \( AKBN \), chúng ta đã biết rằng \( AK \parallel BN \) và \( AM \parallel KB \).
2. Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( K \) là trung điểm của \( KN \), nên \( MB = MA \).
3. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:

\[
\text{Nếu } AM \parallel KB \text{ và } AN \parallel BK \text{ thì, theo định nghĩa hình bình hành, }
\]
\[
KB = AM = NC
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( KB = NC \).

Tóm lại:
1. \( MN = 3 \) cm.
2. Tứ giác \( AKBN \) là hình bình hành.
3. \( KB = NC \).