Để chứng minh tứ giác \(BMEF\) là hình chữ nhật trong tam giác vuông \(ABC\), ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa**: Tứ giác là hình chữ nhật nếu có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, hoặc nếu có một góc vuông.

2. **Tam giác vuông**: Vì \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), suy ra \(\angle ABC = 90^\circ\).

3. **Điểm \(E\) và \(F\)**:
- \(E\) là trung điểm của \(AC\), \(F\) là trung điểm của \(BC\).
- Từ đó, \(AE = EC\) và \(BF = FC\).

4. **Chứng minh góc vuông**:
- Xét tứ giác \(BMEF\):
- \(\angle MBE = \angle ABC = 90^\circ\) (do tam giác vuông).
- Từ đây, ta có một góc vuông trong tứ giác \(BMEF\).

5. **Kết luận**: Vì tứ giác có một góc vuông, nên \(BMEF\) là hình chữ nhật.

### b) Gọi \(K\) đối xứng với \(B\) qua \(E\). Tứ giác \(BAKC\) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \(BAKC\) là hình thang vuông vì:
- \(K\) đối xứng với \(B\) qua \(E\), tức là \(BE = EK\).
- \(AC \parallel BK\).
- \(\angle BAE = \angle KAC = 90^\circ\).

### c) Gọi \(G\) đối xứng với \(E\) qua \(F\). Tứ giác \(BGCE\) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \(BGCE\) là hình thang:
- \(G\) đối xứng với \(E\) qua \(F\), tức là \(EF = FG\).
- \(B\) và \(C\) đều nằm trên cạnh \(BC\), tạo thành hình thang với \(EG \parallel BC\).

### d) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(BGCE\) là hình vuông?

Tứ giác \(BGCE\) sẽ là hình vuông nếu:
- Cạnh \(BC\) phải vuông góc với \(EG\).
- Tức là tam giác \(ABC\) phải thỏa mãn điều kiện thứ hai là \(AB = AC\).

Với các bước này, ta có thể chứng minh các hình dạng của tứ giác và mối quan hệ giữa chúng.