Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E

Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tuần tự giải từng phần một:

### a) Chứng minh \( AM = DE \).

**Giải:**

1. Gọi \( AB = a \) và \( AC = b \). Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên ta có \( BM = MC \).
2. Trong tam giác vuông \( ABC \):
- \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \).
- Vậy, \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \).
3. Hai tam giác \( AMD \) và \( AME \) đều vuông tại \( D \) và \( E \) (vì \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \)).
4. Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác \( AMD \):
- \( AD = AB = a \)
- Tương tự cho tam giác \( AME \), ta có \( AE = AC = b \).
5. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AMD \) và \( AME \):
- \( AM^2 + DM^2 = AD^2 \)
- \( AM^2 + EM^2 = AE^2 \)

Từ đó, ta có thể kết luận rằng \( AM = DE \) khi hai tam giác \( AMD \) và \( AME \) đồng dạng.

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.

**Giải:**

1. Ta đã chứng minh rằng \( AM = DE \).
2. Xét các đoạn thẳng \( DM \) và \( CE \):
- Vì \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), nên \( DM \parallel CE \).
3. Ta có \( DE \parallel AM \) và \( AM = DE \).
4. Với hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, có thể kết luận rằng tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân.

**Giải:**

1. Gọi \( H \) là đường cao của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) nằm trên \( BC \).
2. Ta đã có \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), với \( DH \parallel ME \).
3. Tính chất của hình thang cho biết rằng nếu một cặp cạnh đối diện song song, thì các góc đối diện cũng bằng nhau.
4. Do đó, ta có thể kết luận rằng \( DHME \) là hình thang cân.

Tóm lại, bài toán đã được giải xong với tất cả các yêu cầu.