Cho số thực x thoả mãn (x - 1/x) / (x + 1/x) = a. Tính giá trị biểu thức sau theo a: A = (x^2 - 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2)

Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{x^2 - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} \) theo biến \( a \), chúng ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

\[
\frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}} = a.
\]

Ta có thể viết lại dấu phân số này như sau:

\[
\frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x^2 - 1}{x}}{\frac{x^2 + 1}{x}} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.
\]

Do đó:

\[
a = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính \( A \) từ \( a \). Để làm điều này, ta có thể thiết lập công thức A:

\[
A = \frac{x^2 - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}}.
\]

Chúng ta nhận thấy rằng:

\[
x^2 - \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}),
\]
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2.
\]

Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \), từ đó ta có:

\[
x - \frac{1}{x} = \sqrt{(x + \frac{1}{x})^2 - 4} = \sqrt{t^2 - 4}.
\]

Vì vậy, \( A \) có thể được biểu diễn như sau:

\[
A = \frac{(x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})}{(x + \frac{1}{x})^2 - 2} = \frac{\sqrt{t^2 - 4} t}{t^2 - 2}.
\]

Lưu ý rằng từ biểu thức \( a \), ta có thể viết \( x^2 - 1 = a(x^2 + 1) \), từ đó tính được \( x^2 \):

\[
x^2 - a x^2 = a + 1 \implies x^2 (1 - a) = a + 1 \implies x^2 = \frac{a + 1}{1 - a}.
\]

Và từ đó suy ra \( \frac{1}{x^2} = \frac{1 - a}{a + 1} \). Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\frac{a + 1}{1 - a} - \frac{1 - a}{a + 1}}{\frac{a + 1}{1 - a} + \frac{1 - a}{a + 1}}.
\]

Ta sẽ biến đổi biểu thức trên với một số bước thực hiện:

1. Tìm mẫu số chung và làm đơn giản hoá.
2. Rút gọn các biểu thức, và tìm tính toàn vẹn cho \( A \).

Sau nhiều bước biến đổi, một cách đơn giản hơn để có thể thu được giá trị của \( A \) chính là sử dụng công thức và thay thế thẳng từ \( a \):

\[
A = \frac{a}{1 - a^2}.
\]

Vậy cuối cùng, giá trị biểu thức \( A \) theo \( a \) là:

\[
\boxed{a}.
\]