Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a), b) và c).

### a) Chứng minh: \( BD = DE \).

1. **Phân giác**: Do \( AD \) là đường phân giác của góc \( \angle BAC \), theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Điểm E**: Theo giả thiết, \( AE = AB \).

3. **Xét tam giác \( \triangle ABE \)**:
- Ta có \( AE = AB \) (theo giả thiết),
- Vậy \( \triangle ABE \) là tam giác cân tại \( A \).

4. **Tam giác cân**: Trong tam giác cân, hai cạnh bằng nhau sẽ tạo ra hai góc bằng nhau. Vậy:

\[
\angle ABE = \angle AEB
\]

5. **Áp dụng định lý Sin**: Từ tam giác \( ABE \):

\[
\frac{BD}{DE} = \frac{AB}{AE} = 1 \implies BD = DE
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( BD = DE \).

### b) Chứng minh rằng: \( \triangle DBK \cong \triangle DEC \).

1. **Tam giác DBK và DEC**:
- Đã có \( BD = DE \) (theo phần a),
- \( \angle DBK = \angle DEC \) (do AD là phân giác),
- \( BK = EK \) (điểm K là giao điểm của AB và ED).

2. **Áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC)**: Ta có:

\[
\triangle DBK \cong \triangle DEC
\]

### c) Điều kiện để \( D \) cách đều ba cạnh của \( \triangle ABC \).

1. **Cách đều ba cạnh**: Để \( D \) nằm trên đường trung trực của ba cạnh của tam giác \( ABC \), thì cần thỏa mãn điều kiện sau:

- Khoảng cách từ \( D \) đến \( AB \), \( AC \) và \( BC \) phải bằng nhau.

2. **Điều kiện cụ thể**:

- Nếu \( D \) nằm trên đường phân giác \( AD \), thì:

\[
BD + DC = DE + EC
\]

Điều này tương đương với việc:

\[
BD = DC \quad \text{và} \quad DE = EC
\]

Để ba đoạn thẳng này bằng nhau, cần \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác.

Tóm lại, để câu c) thỏa mãn thì điểm \( D \) cần phải là điểm cân bằng trên tất cả ba cạnh của tam giác \( ABC \), và bạn có thể dễ dàng xác minh điều này từ các tính chất và định lý về tam giác.