Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = 2x^2 + y^2 + 6x + 2y + 2023 \), bạn có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Chuyển đổi biểu thức \( A \).

Ta có:

\[
A = 2x^2 + 6x + y^2 + 2y + 2023
\]

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \( x \).

\[
A = 2(x^2 + 3x) + y^2 + 2y + 2023
\]

Để hoàn thành bình phương cho \( x^2 + 3x \), ta thêm và trừ \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \):

\[
= 2\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) + y^2 + 2y + 2023
\]

\[
= 2\left((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) + y^2 + 2y + 2023
\]

\[
= 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + y^2 + 2y + 2023
\]

Bước 3: Hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \( y \).

\[
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
\]

Thay vào biểu thức:

\[
A = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + (y + 1)^2 - 1 + 2023
\]

\[
= 2(x + \frac{3}{2})^2 + (y + 1)^2 + 2021.5
\]

Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất.

Biểu thức \( 2(x + \frac{3}{2})^2 + (y + 1)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \( x + \frac{3}{2} = 0 \) và \( y + 1 = 0 \), tức là \( x = -\frac{3}{2} \) và \( y = -1 \).

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
A_{min} = 0 + 2021.5 = 2021.5
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 2021.5 \).