a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật:
AH ⊥ BC (AH là đường cao)
I là trung điểm của AC (gt)
E đối xứng với H qua I (gt) => I là trung điểm của HE => HE // AC và HE = AC
Tứ giác AHCE có:
HE // AC (cmt)
HE = AC (cmt)
AH ⊥ BC (gt) => AHCE là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông)
b) Chứng minh HC = 2.IK và IK ⊥ AH:
Vì AHCE là hình chữ nhật (cmt) nên:
AE = HC (hai cạnh đối diện)
AH = EC
Ta có:
IK là đường trung bình của tam giác AHE (do I, K lần lượt là trung điểm của AC và AH) => IK // HE và IK = 1/2 HE
Mà HE = AC (cmt) => IK = 1/2 AC
Lại có: HC = AE (cmt) và AE = 2IK (cmt) => HC = 2.IK
Vì IK // HE và HE ⊥ AH (do AHCE là hình chữ nhật) nên IK ⊥ AH.
c) Chứng minh ba điểm F, K, C thẳng hàng:
Ta có:
HF // AC (gt)
IK // AC (cmt) => HF // IK
Mặt khác, AH ⊥ IK (cmt) và HF ⊥ AH (do HF // AC và AH ⊥ BC) => HF ⊥ IK
Tứ giác HFKI có:
HF // IK (cmt)
HF ⊥ IK (cmt) => HFKI là hình chữ nhật => FK // HI
Mà HI // AC (do IK là đường trung bình của tam giác AHE) => FK // AC
Mà F, K, C cùng nằm trên đường thẳng AE => Ba điểm F, K, C thẳng hàng.