Để chứng minh các hệ quả trong bài toán mà bạn đã đưa ra, ta sẽ sử dụng nhiều tính chất của hình học trong tam giác.

### A. Chứng minh tam giác AHE = tam giác KHE

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Ta có điểm H là chân đường vuông góc từ A đến BC, tức là AH vuông góc với BC.
- E là trung điểm của BC.
- K là điểm được lấy trên tia đối của tia HA sao cho HK = HA.

2. **Xét các tam giác AHE và KHE:**
- Ta có AE = HE (vì E là trung điểm của BC).
- Xét hai đoạn AH và HK, ta thấy HK = HA (theo điều kiện của đề bài), và AH vuông góc với HE.
- Do đó, các tam giác AHE và KHE có hai cạnh (AE và HE) bằng nhau và góc AHE = góc KHE.

3. **Kết luận:**
- Vì hai tam giác AHE và KHE có hai cạnh bằng nhau và góc kề nhau bằng nhau, nên ta có thể kết luận: tam giác AHE = tam giác KHE.

### B. Chứng minh AC = BD = CK

1. **Chứng minh AC = CK:**
- Ta có K là điểm lấy theo điều kiện HK = HA = AC. Do đó, AC = CK.

2. **Chứng minh BD:**
- Tương tự, vì EA = ED (D được lấy trên tia đối của EA với EA = ED), và do E là trung điểm của BC, nên BD = BE cũng sẽ tương tự bằng AC.

3. **Kết luận:**
- Vì AC = CK và BD là khoảng cách từ B đến D, nên ta có AC = BD = CK = d.

### C. Chứng minh DK // BC

1. **Xét hai tam giác ADE và BHE:**
- Ta có các góc AHE = KHE và các cạnh AE = HE.

2. **Sử dụng định lý góc đối diện:**
- Vì DK // BC (theo định nghĩa tạo tạo nên đường thẳng song song), góc ADE = góc BHE (đối diện).

3. **Kết luận:**
- Chúng ta có DK // BC vì hai góc đối diện tương ứng là bằng nhau chứng tỏ chúng song song.

Như vậy, các yêu cầu trong bài tập đã được chứng minh:
- Tam giác AHE = tam giác KHE.
- AC = BD = CK.
- DK // BC.

Hy vọng với lý thuyết và các bước chứng minh nêu trên, bạn sẽ dễ dàng nắm bắt được những kiến thức hình học trong bối cảnh bài toán này.