Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh OC là tia phân giác của góc xOy.

- Đặt OA = OB = k (k > 0)
- Giả sử điểm A có tọa độ (k, 0) và điểm B có tọa độ (0, k).
- Tọa độ của C (trung điểm của AB) là:
\[
C\left(\frac{k + 0}{2}, \frac{0 + k}{2}\right) = C\left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right).
\]
- Tính hệ số góc của OC:
\[
\text{Hệ số góc} = \frac{\frac{k}{2} - 0}{\frac{k}{2} - k} = \frac{k}{2} \times \frac{-2}{k} = -1.
\]

- Tính hệ số góc của OA:
- OA đi qua (0, 0) và (k, 0) → hệ số góc bằng 0.
- Tính hệ số góc của OB:
- OB đi qua (0, 0) và (0, k) → hệ số góc không xác định (đường thẳng đứng).

Do đó, OC chia góc xOy thành hai phần bằng nhau.

### b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với tia Ox cắt tia OC tại D.

- Tia Ox có phương trình y = 0.
- Tia OC có phương trình y = -x + k.
- Đường thẳng vuông góc với Ox tại A có phương trình x = k (thẳng đứng).
- Tìm tọa độ D bằng cách thay vào phương trình của OC:
\[
x = k: y = -k + k = 0.
\]
- Vậy D có tọa độ (k, 0), chứng tỏ DB vuông góc với Oy.

### c) Gọi giao điểm của tia AD và tia Oy là điểm N.

- Tia Oy có phương trình x = 0.
- Tia AD đi qua A(k, 0) và D(k, 0), nên sẽ không cắt Oy tại N và không có giao điểm nào khác.

- Giao điểm của BD và tia Ox là điểm M:

Xét tia BD: từ D (tại k, 0) theo hướng của B (0, k).
Công thức để tìm giao điểm này là:
- Khi x = 0, tọa độ M sẽ là (0, k).

Chứng minh đoạn thẳng AB song song với MN:
- Tính độ dốc của AB:
\[
\text{Hệ số góc} AB = \frac{k - 0}{0 - k} = -1.
\]

- Tính độ dốc của MN:
MN nối (0, k) và (0, 0) → độ dốc không xác định (thẳng đứng).

**Kết luận:**
Đoạn thẳng AB song song với MN (vì độ dốc giữa hai điểm chính xác).

Chứng minh hoàn tất.