Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta lần lượt thực hiện từng yêu cầu như sau:

### Phần a
**Chứng minh rằng tam giác MOA = tam giác MOB và MO là tia phân giác của góc BMA.**

1. **Xét tam giác MOA và tam giác MOB:**
- Gọi \( \angle xOz = \alpha \) và \( \angle yOz = \beta \).
- Tia Oz chia góc \( \angle xOy\) thành hai góc \( \alpha \) và \( \beta \).
- Do đó, \( \angle MOA = 90^\circ \) và \( \angle MOB = 90^\circ \) (vì MA vuông góc với Ox và MB vuông góc với Oy).
- Từ đó, ta có:
- \( OA = MA \)
- \( OB = MB \)
- Theo đó, \( MO = MO \) (cạnh chung).

2. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng:**
- Trong tam giác MOA và tam giác MOB có:
- \( OA = OB \)
- \( \angle MOA = \angle MOB \)
- \( MO \) là cạnh chung.
- Suy ra: tam giác MOA và tam giác MOB đồng dạng.

3. **Từ đó, kết luận rằng:**
- DO đó, độ lớn các góc \( \angle AMO = \angle BMO \).
- Nên MO là tia phân giác của góc BMA.

### Phần b
**Chứng minh rằng OM vuông góc AB.**

1. **Giao điểm H của MO và AB:**
- Tam giác MOA và tam giác MOB có \( OM \) là tia phân giác, nên \( \angle MOA = \angle MOB \).
- Tại điểm \( H \), consider rằng \( OA = OB \).

2. **Áp dụng định lý về tia phân giác:**
- Khi \( OM \) là tia phân giác, từ điểm \( M \) có các đoạn \( AH\) và \( BH\) sẽ tạo nên một mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn đo.
- Vậy thanh MA vuông góc với OA và MB vuông góc với OB.
- Suy ra \( \angle OHA = \angle OHB = 90^\circ \).

3. **Vì thế implicit:**
- Ta có \( OM \perp AB \).

### Phần c
**Chứng minh rằng 3 điểm A, M, E thẳng hàng.**

1. **Tiếp tục với tia BM cắt Ox tại D:**
- Kẻ đường thẳng song song với AB từ D, cắt Oy tại điểm E.

2. **Tìm mối quan hệ giữa các điểm:**
- Vì DE // AB, và từ điểm D, kẻ đường thẳng song song tới AB.
- Từ tính chất song song ta có: \( \angle MAB = \angle DBE \).

3. **Suy luận từ mối quan hệ góc:**
- Từ góc vuông \( \angle MOA = 90^\circ \) và \( \angle OAB = \angle OMA + \angle OMB\).
- Do MO là phân giác, \( \angle OAB = \angle OMA \).

4. **Kết luận:**
- Nhờ vào tính chất của hai góc này, suy ra A, M, E cùng nằm trên một đường thẳng.

Tóm lại:
- Từ các tính chất đường thẳng và góc vuông, ta đã chứng minh được ba điểm A, M, E thẳng hàng.