Rút gọn phép tính

Để rút gọn phép tính:

\[
\sqrt{ \left[ \sqrt{5} + 1 - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1} \right] \left( \sqrt{5} - 1 \right) }
\]

Ta thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Tính \(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}\)

Ta nhân và chia với \(\sqrt{5}+1\):

\[
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{2}
\]

### Bước 2: Thay vào biểu thức

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\sqrt{ \left[ \sqrt{5} + 1 - \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{2} \right] \left( \sqrt{5} - 1 \right) }
\]

### Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức trong dấu ngoặc

Tính \(\sqrt{5} + 1 - \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{2}\):

\[
= \sqrt{5} + 1 - \left(\frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
\[
= \sqrt{5} + 1 - \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Nhóm lại:

\[
= \left(\sqrt{5} - \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
\[
= \left(\frac{2\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
\[
= \frac{(2 - \sqrt{3})\sqrt{5}}{2} + \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)
\]

### Bước 4: Rút gọn

\[
= \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{5} + 1)}{2}
\]

### Bước 5: Cả biểu thức dưới dấu căn

Biểu thức trở thành:

\[
\sqrt{ \left[ \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{5} + 1)}{2} \right] \left( \sqrt{5} - 1 \right) }
\]
\[
= \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(2 - \sqrt{3})(5 - 1)}
\]

Vì vậy, rút gọn cuối cùng là:

\[
= \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2
\]

Và sẽ cho kết quả đúng.