Để chứng minh các kết quả đề bài đặt ra, ta tiến hành theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh: CA, CB là tiếp tuyến của (O').

1. ** Cấu hình ban đầu**:
- Gọi O là tâm của đường tròn (O) và O’ là tâm của đường tròn (O’).
- Những điểm A và B là các điểm cắt nhau của hai đường tròn (O) và (O’).

2. **Chứng minh CA là tiếp tuyến của (O')**:
- Ta có O'C là đường kính của đường tròn (O), nên C nằm trên đường tròn (O).
- Từ định lý tiếp tuyến, để CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’), điểm A nằm trên đường tròn (O’) và phải thỏa mãn:
\[
CA \perp O'A.
\]
- Do O'C là đường kính của (O), do đó góc OAC = 90° (theo định lý về góc nội tiếp). Từ đó, ta suy ra:
\[
CA \perp AO' \quad (\text{vì O nằm trên AO'})
\]
- Vậy CA là tiếp tuyến của (O’).

3. **Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O')**:
- Tương tự, ta có UB cũng nằm trên đường tròn O'.
- Giống như với CA, ta cũng có:
\[
CB \perp O'B.
\]
- Do đó, CB cũng là tiếp tuyến của (O’).

Tóm lại, CA và CB đều là tiếp tuyến của (O’).

### b) Chứng minh O, I, K thẳng hàng.

1. **Điểm I** là giao điểm của đường vuông góc với AO’ tại O’ và BC.
2. **Điểm K** là giao điểm của đường vuông góc với AC tại C và O’B.

3. Tiến hành chứng minh: O, I, K thẳng hàng.
- Vì O’ là tâm của đường tròn (O’), nên O’C là bán kính của (O’).
- Theo tính chất của hình học, tam giác KO'C là tam giác vuông tại K (do KC ⊥ AC).
- Vậy, trung trực của KO’ sẽ đi qua O’, do đó nó cũng đi qua I (vì I là giao điểm với BC).
- Nên O, I là một phần của đường vuông góc với AO’ tại O’ và nó sẽ giao nhau tại I.
- Vậy, theo định lý trung trực, ta có O, I, K cùng nằm trên một đường thẳng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng O, I, K thẳng hàng.

### Kết luận
Chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của đề bài: chứng minh các tiếp tuyến và mối liên hệ giữa các điểm O, I, K.