Tứ giác ABCM, ABMD là hình gì? Vì sao? Cho AC cắt BM tại E và AM cắt BD tại O. Gọi N là trung điểm MC. Chứng minh tứ giác DOEN là hình thang cân

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần một.

### Phần a: Xác định tứ giác ABCM và ABMD

**Tứ giác ABCM**:
- Ta có tứ giác ABCD với \( A = D = 90^{\circ} \), và \( AB = AD = CD \). Chính vì vậy, \( ABCD \) là hình thang vuông với \( AB \) và \( CD \) lần lượt là hai cạnh đáy. Từ đó, điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( CD \) sẽ tạo thành tứ giác \( ABCM \).
- Tứ giác \( ABCM \) là hình bình hành vì \( AB \) song song và bằng \( CM \) (từ định nghĩa của trung điểm \( M \)), và \( AC \) song song và bằng \( BM \) (do \( CD \) là đường thẳng nằm ngang).

**Tứ giác ABMD**:
- Tứ giác \( ABMD \) cũng sẽ là hình chữ nhật, bởi vì \( AD \) vuông góc với \( AB \) và \( DM \) vuông góc với \( AB \) (do \( M \) là trung điểm của \( CD \) ở trên trục ngang \( AB \)).

### Phần b: Chứng minh tứ giác DOEN là hình thang cân

- Gọi hai điểm \( E \) và \( O \) theo như đã định nghĩa.
- Để chứng minh tứ giác \( DOEN \) là hình thang cân, ta cần chứng minh \( DE \) và \( ON \) song song.
- Xét hai tam giác \( AOB \) và \( CDB \), từ tính chất của các đường trung bình trong tam giác, ta có \( N \) là trung điểm của \( MC \), do đó \( ON \) sẽ song song với \( DE \) và \( D \) sẽ là điểm đối xứng với \( E \) qua đường thẳng \( ON \), hoặc nói cách khác, \( DO \) sẽ song song với \( EN \).

### Phần c: Chứng minh \( DH = DK \)

- Từ việc kẻ đường thẳng \( DI \) vuông góc với \( AC \), ta sẽ có hai tam giác vuông tại \( H \) và \( K \).
- Chứng minh rằng các tam giác \( DHI \) và \( DKI \) đồng dạng ba góc sẽ là cơ sở để chứng minh rằng \( DH \) sẽ bằng \( DK \).

#### Kết luận

Qua hai phần đầu bài cùng với ba yếu tố suy luận và một số tính chất của các tứ giác, chúng ta có thể thấy rằng các hình đã nêu lên đều có mặt song song và độ dài tương đương, điều này giúp bảo toàn các đường cao và độ dài cạnh trong các bước chứng minh tiếp theo.