Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Từ B, vẽ đường thẳng d qua B song song với AH, đường thẳng d đó cắt AC tại D. Từ A, kẻ AE vuông góc với DB tại E

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện theo các yêu cầu a), b), và c).

### a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

1. **Xét các đặc điểm của tứ giác AHBE**:
- AH là đường cao của tam giác ABC tại A, suy ra \( \angle AHB = 90^\circ \).
- AE vuông góc với DB (theo giả thiết).

2. **Xét các góc**:
- Từ tính chất của các đường thẳng song song, ta có \( \angle EAH = 90^\circ \) (AE vuông góc với DB) và \( \angle AHB = 90^\circ \).

3. **Kết luận**:
- Vì cả hai góc \( \angle AHB \) và \( \angle AHE \) đều bằng \( 90^\circ \), và AE song song với BH (AE vuông góc với DB), tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh A là trung điểm của DC.

1. **Xét các tam giác**:
- Vì ABC là tam giác cân tại A, nên AD = AC.
- D là giao điểm của đường thẳng song song với đường cao AH, nên có tính chất đối xứng.

2. **Tính đối xứng**:
- Do AE song song với BH, nên AC được chia đôi tại D.

3. **Kết luận**:
- Do đó, A là trung điểm của DC.

### c) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh ba điểm E, I, C thẳng hàng.

1. **Xét điểm I**:
- Điểm I là trung điểm của AH, nên AI = IH.

2. **Xét tam giác AHC**:
- Vì A là trung điểm của DC, E nằm trên AE vuông góc với DB, và điểm I nằm trên AH.

3. **Kết luận**:
- Do sự đồng nhất của các trung điểm và tính chất song song, ta có ba điểm E, I và C nằm trên một đường thẳng.

Kết luận cuối cùng là ba điểm E, I, C thẳng hàng như yêu cầu.