Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác ABCN là hình chữ nhật.

- **Tứ giác ABCN** bao gồm các đỉnh A, B, C và N.
- Xét tam giác vuông ABC với góc vuông tại A.
- Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC.
- Do MN = MA, điểm N nằm trên tia đối của MA và cách A một khoảng bằng MA.
- Trong tam giác vuông, tam giác AMN có MA vuông góc với BN (bởi vì MN // AC).
- Từ đó, AB ⊥ AC và AN ⊥ BC, suy ra ∠ABN = ∠ANC = 90°.
- Vì vậy, ABCN là tứ giác có 2 đôi cạnh vuông góc, suy ra ABCN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BKNC là hình bình hành.

- K là trung điểm của AK, ta có BK = KA.
- N thuộc đường thẳng MN, với N nằm trên tia đối của MA, thì MN // AB (do MA vuông góc với AB).
- Do đó, BKNM là một hình có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

=> Vậy BKNC là hình bình hành.

### c) Chứng minh KM cắt BN tại O và KO = 2OM.

- KM cắt BN tại O, trong tứ giác BMKN, K là trung điểm của AB và M là trung điểm của BC, suy ra BN là đường chéo của hình bình hành BMKN.
- Khi đó, theo tính chất hình bình hành, điểm O chia BN thành 2 đoạn bằng nhau, tức là MO = NO.
- Vì KM cắt BN tại O, ta có KO = 2OM bởi vì KM được chia thành 3 phần bằng nhau do K và M lần lượt là trung điểm của các đoạn.

Kết luận: Ta có các chứng minh cho cả ba phần của bài toán.