Để xác định xem \( B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{60} \) có chia hết cho 13 hay không, trước hết chúng ta có thể tìm công thức tổng quát cho chuỗi này.

Chuỗi này là một chuỗi hình học với số hạng đầu là \( a = 3 \), tỷ số là \( r = 3 \), và số hạng cuối là \( 3^{60} \). Số lượng các số hạng là 60.

Công thức tổng của một chuỗi hình học là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
với \( n \) là số lượng hạng.

Áp dụng vào trường hợp này ta có:
\[
B = 3 \frac{3^{60} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{60} - 1}{2} = \frac{3^{61} - 3}{2}
\]

Tiếp theo, để kiểm tra \( B \) có chia hết cho 13 hay không, chúng ta cần xem xét \( B \mod 13 \). Để làm được điều này, trước hết ta tính \( 3^{61} \mod 13 \).

Sử dụng định lý Fermat: Khi \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), có:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]
Áp dụng cho trường hợp này với \( a = 3 \) và \( p = 13 \):
\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]
Từ đó, \( 3^{61} \mod 13 \) có thể tính là:
\[
61 \mod 12 = 1 \implies 3^{61} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 13
\]

Bây giờ, thay vào công thức tính \( B \):
\[
B = \frac{3^{61} - 3}{2} \equiv \frac{3 - 3}{2} \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 13
\]

Vậy kết luận rằng \( B \) chia hết cho 13.