Để giải bài toán tìm min giá trị của biểu thức trong bài 1, ta sẽ vận dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz.

### Bài 1:
Cho \( a, b, c > 0 \) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b^2 + c^2} + \frac{b}{c^2 + a^2} + \frac{c}{a^2 + b^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

#### Bước 1: Biến đổi biểu thức
Theo định nghĩa của \( a, b, c \):
- Đặt \( S = \frac{a}{b^2 + c^2} + \frac{b}{c^2 + a^2} + \frac{c}{a^2 + b^2} \).

Từ \( b^2 + c^2 = 1 - a^2 \) và tương tự cho các cặp, ta có thể đưa vào như sau:

\[
S = \frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}
\]

#### Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz
Áp dụng Cauchy - Schwartz cho từng phân số:

\[
S \geq \frac{(a + b + c)^2}{(1-a^2) + (1-b^2) + (1-c^2)} = \frac{(a + b + c)^2}{3 - (a^2 + b^2 + c^2)} = \frac{(a + b + c)^2}{3 - 1} = \frac{(a + b + c)^2}{2}
\]

#### Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của \( a + b + c \)
Từ bất đẳng thức Cauchy, ta biết rằng:

\[
a + b + c \leq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} = \sqrt{3}
\]

Do đó, ta có:

\[
S \geq \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2}
\]

Tuy nhiên, để tìm giá trị chính xác hơn cho \( S \), cần tối ưu hóa hơn.

#### Bước 4: So sánh giá trị
Từ lý thuyết, với các giá trị bằng nhau \( a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}} \):
\[
S = 3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{2/3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}
\]

Vậy, ta có chứng minh:

\[
S \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh rằng

\[
\frac{a}{b^2 + c^2} + \frac{b}{c^2 + a^2} + \frac{c}{a^2 + b^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

Khi \( a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}} \), giá trị đạt được là \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).

### Bài 2 và Bài 3
Nếu bạn cần giải thêm những bài này cũng có thể yêu cầu!