Để giải bài toán này, ta tìm giá trị của \( |x| \) khi mà

\[
x - \frac{3}{2} + \ln\left(x - \frac{3}{2} + 1\right) \geq 0.
\]

Trước tiên, ta có thể định nghĩa biến phụ để dễ dàng tính toán. Đặt

\[
y = x - \frac{3}{2}.
\]

Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
y + \ln(y + 1) \geq 0.
\]

Giá trị của \( y + 1 \) cần đảm bảo dương, tức là

\[
y + 1 > 0 \Rightarrow y > -1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}.
\]

Bây giờ ta cần nghiên cứu hàm số:

\[
f(y) = y + \ln(y + 1).
\]

Ta xét đạo hàm của hàm này:

\[
f'(y) = 1 + \frac{1}{y + 1}.
\]

Hàm \( f'(y) > 0 \) với mọi \( y > -1 \) vì \( 1 + \frac{1}{y + 1} > 0 \). Điều này cho thấy hàm \( f(y) \) là hàm đồng biến trên khoảng \( y > -1 \).

Tiếp theo, chúng ta tính giá trị của hàm tại \( y = 0 \):

\[
f(0) = 0 + \ln(1) = 0.
\]

Vì hàm \( f(y) \) là đồng biến và \( f(0) = 0 \), suy ra:

\[
f(y) \geq 0 \quad \text{nếu} \quad y \geq 0.
\]

Điều này diễn ra khi:

\[
x - \frac{3}{2} \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}.
\]

Kết luận, điều kiện \( |x| \) phải thoả mãn là:

- Nếu \( x \geq 0 \): \( |x| = x \)
- Nếu \( x < 0 \): \( |x| = -x \)

Với điều kiện \( x \geq \frac{3}{2} \), ta có:

\[
|x| = x.
\]

Vậy \( |x| \) có giá trị là:

\[
|x| \geq \frac{3}{2}.
\]