Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AEK = tam giác DEK

1. **Chứng minh AE = DE:**
- Vì D là điểm đối xứng của A qua E, nên có AE = DE.

2. **Chứng minh AK = EK:**
- K là điểm đối xứng của H qua E, nên siêu đường thẳng EK đi qua E và song song với đường thẳng HK. Do đó, AK = EK.

3. **Chứng minh góc AEK = góc DEK:**
- Từ việc A và D là đối xứng qua E, suy ra hai đường thẳng AE và DE cũng sẽ tạo với đường thẳng EK một góc bằng nhau. Vậy, góc AEK = góc DEK.

Từ ba điều trên, ta có AE = DE, AK = EK, và góc AEK = góc DEK. Do đó, theo tiêu chuẩn đồng dạng tam giác, ta suy ra rằng tam giác AEK đồng dạng với tam giác DEK:

\[
\triangle AEK \cong \triangle DEK
\]

### b) Chứng minh tứ giác DHFE là hình bình hành

1. **Chứng minh DH // EF:**
- Kẻ đường cao AH đó là đường vuông góc với BC. Từ đó, ta thấy H nằm trên đường thẳng BC, và vì H là chân đường cao nên HE là đường vuông góc với AB (Nghĩa là HE // AC).
- Tương tự, HF là đường vuông góc với AC (Nghĩa là HF // AB).
- Do đó, DH và EF đều vuông góc với các cạnh đối diện trong tam giác ABC là DH // EF.

2. **Chứng minh DH = EF:**
- H là hình chiếu của D lên AB (từ D về mặt phẳng AB), và H cũng là hình chiếu của A lên AC. Do đó, đoạn DH = EF vì cả hai đều bằng nhau ở khoảng cách từ H đến hai cạnh AB và AC.

Vì có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, ta có tứ giác DHFE là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác AHDK là hình thoi

1. **Chứng minh AH = HD:**
- Vì D là ảnh đối xứng của A qua E, nên AE = DE, và AH là đường cao nên nó cũng vuông góc với BC.
- Do AE = DE và AE là đường thẳng nối A với E, tức là A và D đối xứng qua E. Vậy suy ra AH = HD.

2. **Chứng minh AD = AK:**
- Do tứ giác AHDK là hình đối xứng qua E và K là điểm đối xứng của H qua E, nên AK cũng bằng AD.

Vì hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau (AH = HD và AD = AK), ta có tứ giác AHDK là hình thoi.

### Kết luận

Với các bước trên, ta có thể khẳng định rằng:
- Trong phần (a), tam giác AEK đồng dạng với tam giác DEK.
- Trong phần (b), tứ giác DHFE là một hình bình hành.
- Trong phần (c), tứ giác AHDK là một hình thoi.