Chứng minh bốn điểm M, K, I, O cùng nằm trên một đường tròn

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh bốn điểm M, K, I, O cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( R \) là bán kính của đường tròn \( (O) \). Ta có các đoạn thẳng:

- \( OM = R \)
- \( OI = R \)

Do \( K \) là điểm giao của hai tiếp tuyến từ \( M \) và \( I \) đến đường tròn \( (O) \), ta biết rằng chiều dài từ điểm \( K \) đến điểm \( M \) và điểm \( I \) đều bằng độ dài của tiếp tuyến từ \( K \) đến đường tròn \( (O) \).

Ta có \( KM \perp OM \) và \( KI \perp OI \) (vì là tiếp tuyến).

Từ đây, ta có:
- Tam giác \( OMI \) có \( OM = R \), \( OI = R \), và \( MI < R + R \) (theo định lý tam giác).

Ta có:
\[
KM^2 = KO^2 + OM^2 \text{ (theo định lý Pitago)}
\]
\[
KI^2 = KO^2 + OI^2 \text{ (theo định lý Pitago)}
\]

Khi đó, ta có hai tam giác vuông \( KMO \) và \( KIO \), và do \( KM = KI \) (tính chất của các tiếp tuyến), nên:

\(\angle OKM = \angle OKI\) và \(MOI\) có ba điểm M, K, I nằm trên một đường tròn, do đó điểm O cũng nằm cùng trên đường tròn đó, suy ra \( M, K, I, O \) đồng quy trên một đường tròn.

### b) Chứng minh KO là đường trung trực của đoạn thẳng MI. Từ đó suy ra KO // NI.

Xét các tam giác vuông \( KMO \) và \( KIO \):

+ \( \angle KMO = 90^\circ \)
+ \( \angle KIO = 90^\circ \)

Trong đó, \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( MI \), có nghĩa là từ \( K \), đường thẳng \( KO \) chia đoạn thẳng \( MI \) thành hai đoạn bằng nhau. Từ đó, \( KO \) chính là đường trung trực của đoạn thẳng \( MI \).

Vì đường trung trực của một đoạn thẳng luôn vuông góc với đoạn thẳng đó, ta có \( KO \perp MI \).

Từ đây, suy ra rằng chiều dài đoạn thẳng \( KO \) cũng vô hướng với đoạn thẳng \( NI \). Do đó, ta kết luận rằng \( KO // NI \).

### c) Kẻ IH ⊥ MN (H ∈ MN). Chứng minh KN đi qua trung điểm của đoạn thẳng IH.

Gọi \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( I \) và đường tròn \( (O) \) trên đường thẳng \( MN \).

Ta biết rằng:
- \( IH \perp MN \)
- \( KM \perp OM\) và \( KI \perp OI\)

Từ đó, "K" sẽ thuộc vào đường thẳng \( NI \), với chiều dài của đoạn thẳng \( IH \) là bằng nhau. Điều này cho thấy rằng \( K \) nằm trên đường nối giữa trung điểm của đoạn thẳng \( IH \).

Theo định lý đường trung thẳng, với tính chất vuông góc của các tam giác vuông được tạo ra có \( KI \) và \( KM \), do đó, \( K \) chính xác nằm trên đoạn thẳng có \( I \) và đoạn hẹp của \( H \).

Vậy ta có KN đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( IH \).

---

Đó là các bước chứng minh cho ba yêu cầu của bài toán.