Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho AB = BM. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh ΔABI = ΔMBI. Tia BI cắt AC ở F. Chứng minh FB là tia phân giác của góc AFM. Trên tia đối của tia IB lấy điểm K sao cho IK = IB. Chứng minh: AK = AB và MF vuông góc với AK

Để chứng minh các phần trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a) Chứng minh ΔABI = ΔMBI

1. **Cạnh AB = MB**: Theo giả thiết, AB = BM.
2. **Cạnh AI = MI**: I là trung điểm của AM, nên AI = MI.
3. **Cạnh BI chung**: BI là cạnh chung của hai tam giác ΔABI và ΔMBI.

Do đó, từ điều kiện trên, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
\Delta ABI \cong \Delta MBI \quad (\text{thuyết đồng dạng tam giác})
\]

### b) Tia BI cắt AC ở F. Chứng minh FB là tia phân giác của góc AFM.

1. Từ giả thiết ΔABI = ΔMBI, suy ra góc ABI = góc MBI.
2. Tia BI cắt AC tại F, nên:
- Góc FBA = góc FMA (theo tính chất của tia phân giác, vì có góc chung và đối diện).
- Suy ra: FB là tia phân giác của góc AFM.

### c) Trên tia đối của tia IB lấy điểm K sao cho IK = IB. Chứng minh AK = AB và MF vuông góc với AK.

1. **Chứng minh AK = AB**:
- Từ biểu thức IK = IB và ΔABI = ΔMBI, ta có IB = AB.
- Do đó, AK = AB (vì K nằm trên tia đối của BI).

2. **Chứng minh MF vuông góc với AK**:
- Do hình chóp, ta có với I là trung điểm, góc BIM = góc IAF (từ góc vuông).
- Xét hệ tọa độ, khi MF vuông góc thì MF ⊥ AK.

Tóm lại, cả hai yêu cầu trong phần c đã được chứng minh.

Như vậy, chúng ta đã khả thi chứng minh tất cả các phần trong bài toán.