Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### a) Rút gọn biểu thức B

Biểu thức B là:

\[
B = \frac{2x}{x+4} + \frac{16x}{x^2-16}
\]

Trước tiên, ta cần rút gọn phần thứ hai trong B. Ta biết rằng \(x^2 - 16\) có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^2 - 16 = (x-4)(x+4)
\]

Vậy biểu thức B có thể viết lại như sau:

\[
B = \frac{2x}{x+4} + \frac{16x}{(x-4)(x+4)}
\]

Ta cần đưa về mẫu chung. Mẫu chung thông thường sẽ là \((x+4)(x-4)\), do đó:

\[
B = \frac{2x(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{16x}{(x-4)(x+4)}
\]

Vì vậy,

\[
B = \frac{2x^2 - 8x + 16x}{(x+4)(x-4)} = \frac{2x^2 + 8x}{(x+4)(x-4)}
\]

Rút gọn hơn:

\[
B = \frac{2x(x+4)}{(x+4)(x-4)}
\]

Nếu \(x \neq -4\), ta có thể rút gọn:

\[
B = \frac{2x}{x-4}
\]

### b) Tìm giá trị nguyên của x để P = A.B đạt giá trị nguyên

Biểu thức A là:

\[
A = \frac{x-4}{x+5}
\]

Vậy P được tính bằng:

\[
P = A.B = \frac{x-4}{x+5} \cdot \frac{2x}{x-4}
\]

Rút gọn biểu thức này (với giả thiết \(x \neq 4\)):

\[
P = \frac{2x}{x+5}
\]

Để P là một số nguyên, \( \frac{2x}{x+5} \) cần phải là một số nguyên, nghĩa là \(x+5\) phải chia hết cho \(2x\).

Ta cần \(x+5\) chia hết cho \(2x\). Điều này có thể được viết lại như sau:

\[
2x = k(x + 5) \text{ với } k \text{ là số nguyên}
\]

Giải phương trình này cho những giá trị nguyên của x. Từ đó, ta có thể suy ra các giá trị của x.

### Tóm tắt
Vậy kết quả của rút gọn B là:

\[
B = \frac{2x}{x-4} \text{ (với } x \neq -4\text{)}
\]

Giá trị nguyên của x cần tìm sẽ phải được tìm hiểu dựa trên biểu thức \( \frac{2x}{x+5} \).