Để giải thích tại sao tứ giác ABHD là hình chữ nhật, chúng ta xem xét các tính chất của các cạnh và các góc của nó.

a) Tứ giác ABHD có các điểm như sau:
- Từ định nghĩa, ta biết rằng tứ giác này có 4 đỉnh: A, B, H, D.
- Vì tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, do đó góc A = 90°.
- Kẻ BH vuông góc với DC, tức là góc BHA = 90°.
- Vì AB // DC, nên góc ABD và góc DCA cũng lần lượt bằng nhau.

Từ những thông tin này, ta có các góc vuông tại A và H (góc AHB = 90°). Vì vậy, ABHD là tứ giác có 4 góc vuông (góc A, H, B và D). Tứ giác có 4 góc vuông thì nó là một hình chữ nhật.

So sánh AH và BD:
- Bởi vì tứ giác ABHD là hình chữ nhật, cạnh đối diện của nó là bằng nhau. Do đó, AH sẽ bằng BD.

b) Để tính AD và BD, ta cần sử dụng định lý Pythagore.

Đầu tiên, ta tính các cạnh của tam giác vuông ABD:
- AB = 10 cm
- BC = 13 cm
- DC = 15 cm

Tính chiều cao AH:
- Từ H thuộc DC, ta có tứ giác hình thang ABCD với DC = 15 cm, AB = 10 cm. Tức là độ dài của cạnh DC lớn hơn AB.
- Gọi AD là chiều cao từ A đến DC, (AH = AD).
- Để tính AD, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

AC được tính như sau:
- AC = AD + DC = AD + 15
- Tuy nhiên, không có cần thiết trong tính toán này, chúng ta có thể tính AD với Điều kiện về hạng nguyên. AB = 10 cm, BC = 13 cm, vậy sử dụng Pythagore cho tam giác ABD:

\[
AD^2 + AB^2 = BD^2
\]

Để tính BD, ta cũng có thể đơn giản như sau:
- AD = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{169 - 100} = \sqrt{69} cm.

Bây giờ ta sẽ tính BD:
- Từ tứ giác ABHD, BD = AD.

Cuối cùng, chúng ta có:
- AD = \(\sqrt{69}\) cm,
- BD = AD = \(\sqrt{69}\) cm.

Kết quả:
- Tứ giác ABHD là hình chữ nhật và chiều dài của AD và BD đều bằng nhau, cụ thể là \(\sqrt{69}\) cm.