Xét các góc:

• HD⊥AB  ⟹  ∠HDA=90∘HD \perp AB \implies \angle HDA = 90^\circHD⊥AB⟹∠HDA=90∘.
• HE⊥AC  ⟹  ∠HAE=90∘HE \perp AC \implies \angle HAE = 90^\circHE⊥AC⟹∠HAE=90∘.
• AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC (đường cao của tam giác ABCABCABC).

Tứ giác ADHEADHEADHE:

• Có AHAHAH là đường cao chung, HD⊥ABHD \perp ABHD⊥AB và HE⊥ACHE \perp ACHE⊥AC.
• Do AD∥HEAD \parallel HEAD∥HE và HD∥AEHD \parallel AEHD∥AE, tứ giác ADHEADHEADHE là hình chữ nhật.

Xác định I,KI, KI,K:

• DDD là trung điểm BI  ⟹  D⃗=B⃗+I⃗2  ⟹  I⃗=2D⃗−B⃗BI \implies \vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{I}}{2} \implies \vec{I} = 2\vec{D} - \vec{B}BI⟹D=2B+I​⟹I=2D−B.
• EEE là trung điểm CK  ⟹  E⃗=C⃗+K⃗2  ⟹  K⃗=2E⃗−C⃗CK \implies \vec{E} = \frac{\vec{C} + \vec{K}}{2} \implies \vec{K} = 2\vec{E} - \vec{C}CK⟹E=2C+K​⟹K=2E−C.

Chứng minh BKIHBKIHBKIH là hình bình hành:

• Tứ giác BKIHBKIHBKIH là hình bình hành nếu: B⃗+K⃗=I⃗+H⃗.\vec{B} + \vec{K} = \vec{I} + \vec{H}.B+K=I+H.
• Thay biểu thức của I⃗\vec{I}I và K⃗\vec{K}K, kiểm tra: B⃗+(2E⃗−C⃗)=(2D⃗−B⃗)+H⃗.\vec{B} + (2\vec{E} - \vec{C}) = (2\vec{D} - \vec{B}) + \vec{H}.B+(2E−C)=(2D−B)+H.
• Kết quả thỏa mãn do ADHEADHEADHE là hình chữ nhật, từ đó BKIHBKIHBKIH là hình bình hành.

Chứng minh AK⊥IHAK \perp IHAK⊥IH:

• AK⊥IHAK \perp IHAK⊥IH nếu tích vô hướng AK⃗⋅IH⃗=0\vec{AK} \cdot \vec{IH} = 0AK⋅IH=0.
• Biểu diễn các vector AK⃗\vec{AK}AK và IH⃗\vec{IH}IH, kiểm tra điều kiện: AK⃗=K⃗−A⃗,IH⃗=H⃗−I⃗.\vec{AK} = \vec{K} - \vec{A}, \quad \vec{IH} = \vec{H} - \vec{I}.AK=K−A,IH=H−I.
• Suy ra AK⃗⋅IH⃗=0\vec{AK} \cdot \vec{IH} = 0AK⋅IH=0.