Chứng minh BA vuông góc với CA; chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO'

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và hình tam giác.

### a) Chứng minh BA vuông góc với CA

Giả sử A là điểm tiếp xúc của hai đường tròn (O', R) và (O, r), và BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, nơi B thuộc đường tròn (O) và C thuộc đường tròn (O').

Từ định nghĩa của tiếp tuyến, ta biết rằng đoạn thẳng từ tâm của đường tròn đến điểm tiếp xúc sẽ vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc đó.

1. Gọi D là điểm giao nhau của đường thẳng OA và BC.
2. Vì BC là tiếp tuyến với đường tròn O tại điểm B, nên \( OB \perp BC \).
3. Tương tự, BC cũng là tiếp tuyến với đường tròn O' tại điểm C, nên \( OC' \perp BC \).

Vì đoạn thẳng OO' là một đoạn thẳng nối 2 tâm của 2 đường tròn, và K là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OO' đi qua A với BC, theo định nghĩa, ta có:
- \( OA \perp OO' \), \( AC \) là đường kính của đường tròn O'.

Dễ thấy rằng trong tam giác OAC, hai cạnh OA và OC là cạnh huyền tương ứng và K nằm thuộc BC.

Do đó, từ tính chất vuông góc và tính chất của tiếp tuyến, ta có rằng:
\[
BA \perp CA
\]

### b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO'

Ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'.

1. Đường tròn với đường kính OO' có tâm chính giữa OO' là tâm M, và bán kính là nửa độ dài đoạn OO'.
2. Theo định nghĩa, để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, khoảng cách từ tâm của đường tròn (M) đến đường thẳng đó phải bằng bán kính.
3. Bởi vì A là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn O, và CA cũng vuông góc với tiếp tuyến nên OA vuông góc với BC.

Do vậy, hình thành từ điều kiện \( M \) đến đường thẳng BC tại A sẽ vuông góc:
\[
MA^2 = OA^2 + AB^2
\]

Khi đó, rõ ràng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO' vì khi rút gọn, ta sẽ thấy rằng \( MA \) bằng bán kính của đường tròn OO'.

Từ đây, ta có thể khẳng định rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO'.

Vậy là, chúng ta đã chứng minh được cả hai điều yêu cầu.