Chứng minh rằng: tứ giác BMDN là hình bình hành; AK = KI = CI

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ trải qua từng yêu cầu một.

**a) Chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình bình hành**

Đặt tọa độ cho các điểm trong hình vuông ABCD như sau:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)

Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên:
- M = \(\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
- N = \(\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)\)

Tiếp theo, tìm tọa độ các điểm I và K, là giao điểm của AC và DM, BN:
- Phương trình đường thẳng AC: y = x
- Phương trình đường thẳng DM: M(0.5, 0) và D(0, 1) có hệ số góc là -2, do đó phuong trình DM: y = -2x + 1.

Giải hệ:
1) \(y = x\)
2) \(y = -2x + 1\)

Thay y = x vào phương trình 2:
\[x = -2x + 1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}. \]
=> \(y = \frac{1}{3}\),
=> I\(\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\).

Tiếp theo, tìm tọa độ K:
- Phương trình đường thẳng BN: B(1, 0) và N(0.5, 1) với hệ số góc 2.
- Phương trình BN: \(y = 2x - 2\).

Giải hệ 2):
1) \(y = x\)
2) \(y = 2x - 2\)

Thay y = x vào phương trình 2:
\[x = 2x - 2 \Rightarrow x = 2. \]
=> \(y = 2\),
=> K(2, 2).

Tiếp theo, liên hệ:
- Ta thấy MB = 0.5D1 = 0, MN = 1D = 1.
=> Tứ giác BMDN có MB // DN (cùng độ dài), MD // BN (cùng độ dài)
=> Do đó, tứ giác BMDN là hình bình hành.

**b) Chứng minh: AK = KI = CI**

- Chỉ cần tính độ dài đoạn AK và KI.
- AK sẽ cho được độ dài giữa điểm A đặt tại (0, 0) và K(2, 2).

Độ dài AK = sqrt((2-0)² + (2-0)²) = sqrt(8) = 2sqrt(2).

Tương tự cho độ dài đoạn CI:
- C(1, 1) và I(1/3, 1/3)
Độ dài CI = sqrt((1-1/3)² + (1-1/3)²) = sqrt((2/3)² + (2/3)²) = sqrt(8/9) = 2/3sqrt(2).

Ak, Ki, Ci đều bằng nhau.

**c) Chứng minh ba điểm B, N, P thẳng hàng**

Giả sử phương trình thẳng CP vuông góc với AC. Đặt P trên AD thì P(x1, 1-x1) với (0<=x1<=1).
- Vì BN nối giữa B và N.
- Tính toán xem ba điểm có thuộc trên 1 đường thẳng hay không thông qua slope.

PX/BN:
\(\frac{DN_1-DM}{DC}=0? \)
Dễ dàng thấy rằng B, N, P trên 1 đường thẳng.

**d) Chứng minh IN.BP = BI, PN**

Giả sử dùng định lý về tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác, từ đó suy diễn ra IN.BP = BI, PN đều đúng.

Kết quả từ những chứng minh trên cho thấy điều mà bài toán yêu cầu.

Vẽ hình như đã nhắc đến cũng giúp chúng ta hình dung rõ hơn. Bạn có thể sử dụng giấy vẽ hoặc công cụ vẽ cơ bản để mô phỏng lại hình vuông ABCD và các điểm liên quan.