Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### 1. Chứng minh M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

Ta biết rằng M là điểm nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Các đoạn MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O; R). Tính chất của tiếp tuyến cho biết, điểm tiếp xúc với đường tròn từ một điểm nằm ngoài sẽ có cùng khoảng cách đến tâm O. Suy ra:

\[
OM^2 = OA^2 + MA^2
\]
và
\[
OM^2 = OB^2 + MB^2
\]

Dễ dàng nhận thấy \( OA = OB = R \).

Như vậy, ta có:

\[
OM^2 = R^2 + MA^2
\]
\[
OM^2 = R^2 + MB^2
\]

Mà MA = MB (do là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn), ta có:

\[
MA^2 = MB^2
\]

Do đó, M, A, B, O nằm trên một đường tròn với bán kính OA=OB=R.

### 2. Chứng minh MO vuông góc với AB tại H

Gọi H là giao điểm của MO và AB. Ta sẽ chứng minh rằng MO vuông góc với AB tại H.

- Vì MA và MB là tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O; R), nên ta có:
\[
MA \perp OA \quad \text{và} \quad MB \perp OB
\]

- Do đó, góc OAH = 90° và góc OBH = 90°, từ đó suy ra H là điểm nằm trên phân giác giữa A và B của đường tròn.

Do MO đi qua B và A, và MO vuông góc với AB, tức là MO sẽ cắt AB tại H vuông góc.

### 3. Tính độ dài MA theo R và tính số đo góc AMB và AOB nếu OM = 2R

Với điều kiện \( OM = 2R \), ta sẽ thay vào công thức tính độ dài MA:

Áp dụng định lý tiếp tuyến, vì:

\[
OM^2 = OA^2 + MA^2 \implies (2R)^2 = R^2 + MA^2
\]
\[
4R^2 = R^2 + MA^2 \implies MA^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2
\]
\[
MA = R\sqrt{3}
\]

**Chúng ta có:**

- Độ dài MA theo R là:
\[
MA = R\sqrt{3}
\]

**Tiếp theo, để tính góc AMB và AOB:**

Sử dụng góc tạo bởi hai tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn:
- Số đo góc AMB là:
\[
AMB = 90° - \frac{1}{2}AOB
\]

- Theo tam giác OAM, ta có
\(\cos{\angle AOM} = \frac{R}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle AOM = 60°\).

- Do đó:
\[
AOB = 2 \times 60° = 120°
\]

Từ đó, góc AMB:
\[
AMB = 90° - \frac{120°}{2} = 90° - 60° = 30°.
\]

**Tóm lại:**
- Độ dài MA = \( R\sqrt{3} \)
- Số đo góc AMB = \( 30° \)
- Số đo góc AOB = \( 120° \)