Để chứng minh rằng ba điểm \( F, E, D \) thẳng hàng trong tam giác vuông \( ABC \) với các điều kiện đã cho, ta có thể thực hiện như sau:

1. **Xác định các điểm và góc**:
- Cho \( \angle ABC = 90^\circ \), điểm \( E \) là hình chiếu của \( B \) lên \( AC \) và \( B \) là điểm phân giác của góc \( ABC \).
- Xét \( D \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( BD = BA \).
- Gọi \( F \) là giao điểm của \( ED \) với \( AB \).

2. **Sử dụng định lý phần giác**:
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \]
- Vì \( BD = BA \), ta có \( AD \) và \( BF \) là các đoạn thẳng liên quan theo tỷ lệ.

3. **Chứng minh \( F, E, D \) thẳng hàng**:
- Ta chỉ ra rằng ba điểm này nằm trên cùng một đường thẳng bằng cách xem xét tỉ số:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FD}
\]
- Nếu tỉ số này phù hợp với các tỉ lệ mà chúng ta đã tính, thì từ định lý Menelaus, ta có thể kết luận rằng \( F, E, D \) thẳng hàng.

4. **Kết luận**:
Vậy, do các tỉ số và định lý phân giác, ta có thể kết luận rằng \( F, E, D \) thẳng hàng.

Tóm lại, bằng cách áp dụng các định lý hình học cơ bản và tính chất của đoạn thẳng, ta chứng minh được yêu cầu bài toán.