Chúng ta có phương trình:

\[ x \cdot (y + 4) - y = 9. \]

Ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

\[
x \cdot (y + 4) - y = 9 \\
x \cdot (y + 4) = y + 9 \\
x \cdot (y + 4) = y + 9.
\]

Sau đó, ta có thể chia cả hai phía phương trình cho \(y + 4\) (miễn là \(y + 4 \neq 0\)):

\[
x = \frac{y + 9}{y + 4}.
\]

Để \(x\) là một số nguyên, thì \(y + 9\) phải chia hết cho \(y + 4\):

\[
y + 9 = k(y + 4) \text{ với k là một số nguyên.}
\]

Giải phương trình này:

\[
y + 9 = ky + 4k \\
y - ky = 4k - 9 \\
y(1 - k) = 4k - 9.
\]

Trường hợp \(k = 1\):
\[
y(1 - 1) = 4 \cdot 1 - 9 \implies 0 = -5 \text{ (vô lý)}.
\]

Trường hợp \(k = 2\):
\[
y(1 - 2) = 4 \cdot 2 - 9 \implies -y = 8 - 9 \implies -y = -1 \implies y = 1.
\]
Thay \(y = 1\) vào phương trình ban đầu:
\[
x \cdot (1 + 4) - 1 = 9 \\
5x - 1 = 9 \\
5x = 10 \implies x = 2.
\]

Vậy một cặp nghiệm nguyên là \((x, y) = (2, 1)\).

Ngoài ra, ta cũng có thể kiểm tra các giá trị khác của \(k\) để tìm thêm nghiệm. Tuy nhiên, với những sự biến đổi trên, chúng ta có thể tìm được nghiệm:

1. Khi \(y = 1\), thì \(x = 2\).
2. Chúng ta có thể thử nghiệm với các giá trị khác nhau cho \(y\) và áp dụng điều kiện chia hết.

Giải nhanh cho các giá trị \(y\):

- \(y = -5\) cho ra \(x = -1\).
- \(y = -4\) không hợp lệ vì \(y + 4 = 0\) dẫn tới chia cho 0.

Sau khi thử nghiệm với một số giá trị, có thể thấy các cặp nghiệm sẽ rơi vào:

- \((x, y) = (2, 1)\)
- \((x, y) = (-1, -5)\)

Kết luận:
Nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
(x, y) = (2, 1) \text{ và } (x, y) = (-1, -5).
\]