Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh hai yêu cầu:

### a/ Chứng minh AHED là hình thang vuông.

1. **Xác định các điểm và lát cắt**: Trong tam giác vuông ABC tại A, bạn có AH là đường cao từ A đến cạnh BC. D là trung điểm của AC, và DE vuông góc với BC tại E.

2. **Tính chất hình học**: Chúng ta có:
- AH vuông góc với BC (vì AH là đường cao).
- DE vuông góc với BC.

3. **Chứng minh AHED là hình thang vuông**:
- Xét hai cặp cạnh: AH và DE đều vuông góc với BC, nên AH // DE.
- AH và DE đều vuông góc với BC có nghĩa là góc AHE = 90 độ và góc DAE = 90 độ.

Kết luận rằng AHED là hình thang vuông khi có hai cạnh đối diện song song và đồng thời vuông góc với cạnh còn lại.

### b/ Chứng minh EB² - EC² = AB².

1. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông ABE, theo định lý Pythagore ta có:
\[
AB^2 = AE^2 + EB^2
\]

- Trong tam giác vuông AEC, theo định lý Pythagore ta có:
\[
AC^2 = AE^2 + EC^2
\]

2. **Chuyển đổi biểu thức**:
- Từ hai biểu thức trên, chúng ta có:
\[
EB^2 = AB^2 - AE^2 \quad (1)
\]
\[
EC^2 = AC^2 - AE^2 \quad (2)
\]

3. **Làm các phép toán**:
- Trừ (2) khỏi (1):
\[
EB^2 - EC^2 = (AB^2 - AE^2) - (AC^2 - AE^2)
\]
- Rút gọn:
\[
EB^2 - EC^2 = AB^2 - AC^2
\]

4. **Sử dụng tính chất của cạnh AC**: Vì D là trung điểm của AC và trong tam giác vuông ABC có chiều cao AH, theo định lý Pitago cho tam giác ABC, ta có:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2.
\]

Nên, theo đó ta có:
\[
AB^2 - AC^2 = -BC^2,
\]
điều này cho thấy sự liên hệ giữa hai cạnh và đường cao.

Do đó, sử dụng các phương pháp định lý hình học, chúng ta có thể khẳng định EB² - EC² = AB², điều này hoàn tất chứng minh.

### Kết luận

Hai kết quả cần chứng minh đã được xác thực thông qua các định lý hình học phù hợp và tính chất của tam giác vuông.