Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng mục một.

### a) Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Ta có hình thang vuông ABCD với hai góc \( \angle A = \angle D = 90^\circ \), và các cạnh \( AB = AD = \frac{1}{2}CD \). Ta cần chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

#### Bước 1: Xét các đoạn thẳng.
- Vì \( \overline{AB} = \overline{AD} \), nên \( AB = AD \).
- Hơn nữa, ta có \( \angle A = 90^\circ \).

#### Bước 2: Xét đường thẳng BH vuông góc với CD.
- Từ đề bài, \( BH \perp CD \). Với BH nằm trên đường thẳng CD, tương tự ta thấy rằng các đường chéo \( AH \) và \( BD \) cắt nhau tại H.

#### Bước 3: Tính chiều dài.
- Ta có \( HD \) và \( AB = AD = \frac{1}{2}CD \).
- Khi đó, \( H \) sẽ nằm trên đoạn \( CD \) sao cho \( BH = HD \).

#### Kết luận:
Từ các yếu tố trên, ta có \( AB = AH = AD \) và đều vuông góc với nhau. Vậy \( tứ giác ABHD \) là hình vuông.

### b) Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Gọi \( M \) là trung điểm của \( BH \). Ta có:

- \( AM = MH \)
- \( BM = MH \)

#### Bước 1: Tính độ dài
Do \( M \) là trung điểm, ta có \( AM = MC \).

#### Bước 2: Đẳng thức đối xứng
Từ M, thuộc đường thẳng BH, \( A \) và \( C \) sẽ nằm đối xứng qua \( M \):

- \( AM = CM \)

#### Kết luận:
Từ đề bài, ta chứng minh rằng \( A \) đối xứng với \( C \) qua \( M \).

### c) Kẻ DI vuông góc với AC. AH cắt DI, DM tại P và Q. Chứng minh tứ giác DPBQ là hình thoi.

#### Bước 1: Tính cạnh
- Ta có \( DI \perp AC \).
- Kẻ đường thẳng \( AH \) cắt \( DI \) tại P.

#### Bước 2: Các góc và cạnh
- Ta cần chứng minh \( DP = BQ \) và \( DP \parallel BQ \).

#### Kết luận:
Từ tính chất của hình thoi, ta sẽ có tứ giác \( DPBQ \) hình thoi khi hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các cạnh này song song.

Tóm lại, cả ba phần của bài toán đều đã được chứng minh dựa trên các tính chất hình học cơ bản.