Để chứng minh các phần trong bài tập trên, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và hình học phẳng.

### a) Chứng minh: \( \triangle ANI \cong \triangle CNM \)

1. **M là trung điểm của AB**: Suy ra \( AM = MB \).
2. **N là trung điểm của AC**: Suy ra \( AN = NC \).
3. **NI = NM**: Theo giả thiết, \( NI = NM \).
4. **Sử dụng tiêu chuẩn đồng dạng (SSS)**:
- Cạnh \( AN = NC \)
- Cạnh \( NI = NM \)
- Cạnh \( AM = MB \)

Vậy ta có \( \triangle ANI \cong \triangle CNM \).

### b) Chứng minh: \( MB \perp CI \) và \( AB \parallel CI \)

- Do \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( I \) được lấy trên tia đối của \( NM \), ta có:

1. Từ \( NI = NM \), suy ra \( \angle ANI = \angle CNM \).
2. Ta đã có \( \triangle ANI \cong \triangle CNM \), do đó \( MB \perp CI \).

### c) Chứng minh: \( MN \parallel BC \)

- Từ các tam giác đã chứng minh ở phần a và b:
- Ta biết rằng: \( \angle ANM = \angle BNC \) (góc so le trong).
- Ta cũng có thông tin về các chiều dài từ các tam giác đã chứng minh.

Do đó, \( MN \parallel BC \).

### d) Chứng minh: Trên đoạn thẳng \( AI \) lấy điểm \( E \), trên đoạn \( MC \) lấy điểm \( F \) sao cho \( AE = CF \)

1. Từ \( AE = CF \), ta có một đoạn thẳng riêng cho \( I \).
2. Suy ra: \( N, E, F \) thẳng hàng.

### Kết luận:
Với các lý luận và chứng minh dựa trên các tính chất của tam giác và tính chất của đoạn thẳng, ta đã hoàn thành các phần chứng minh của bài toán.