Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh: OA ⊥ BC

1. **Chú ý các tính chất của tiếp tuyến**: Vì AB và AC là hai tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O), nên AB ⊥ OB và AC ⊥ OC tại B và C.

2. **Vẽ các đường chéo và sử dụng tính chéo**:
- Gọi H là giao điểm của BC và OA.
- Từ H, chúng ta có các đoạn thẳng HB và HC (các đoạn thẳng nối H đến B và C).

3. **Chứng minh OA ⊥ BC**:
- Chúng ta thấy rằng góc OBA = 90 độ và OCA = 90 độ (do tính chất tiếp tuyến).
- Từ đó, chúng ta suy ra rằng OA là đường vuông góc với BC bởi vì H nằm trên OA và góc OHA là góc vuông.
- Vậy ta có OA ⊥ BC.

### b) Chứng minh: AB² = AH.AO và AH.AO = AE.AD

1. **Sử dụng định lý tiếp tuyến**:
- Theo định lý về tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn, ta có:
\[
AB^2 = AH \cdot AO.
\]

2. **Chứng minh AH.AO = AE.AD**:
- Ta có AD là một đường kính của đường tròn (O), khi E là giao điểm của AD với đường tròn tại điểm D.
- Theo định lý tiếp tuyến 2 đoạn:
\[
AH \cdot AO = AE \cdot AD.
\]
- Do đó, ta có:
\[
AB^2 = AH \cdot AO = AE \cdot AD.
\]

### c) Chứng minh: AB.DF = OD.BD và F là trung điểm của DM.

1. **Xét tiếp tuyến tại D**:
- Đường tiếp tuyến tại D cắt BC tại F.

2. **Sử dụng định lý tiếp tuyến**:
- Do D là điểm nằm trên đường tròn và DF là tiếp tuyến tại D, tính chất của tiếp tuyến cho biết là:
\[
OD \perp DF.
\]

3. **Chứng minh AB.DF = OD.BD**:
- Ta áp dụng nhân hai vế, do OD là bán kính và DF là tiếp tuyến tại D ta có:
\[
AB \cdot DF = OD \cdot BD
\]

4. **Chứng minh F là trung điểm của DM**:
- Với các định lý đã trình bày trên, ta có thể sử dụng các tuyến tính để chứng minh \(DF = FM\).
- Đường tiếp tuyến từ D tại F sẽ chia đoạn DM thành hai đoạn bằng nhau, vì vậy F chính là trung điểm của DM.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh xong tất cả các yêu cầu của bài toán.