Để giải bài toán, ta thực hiện theo các bước như sau:

### a)
Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OC \). Chứng minh rằng bốn điểm: \( C, M, O, A \) cùng thuộc đường tròn tâm \( I \) đường kính \( OC \).

**Chứng minh:**

1. **Điểm \( I \):** Là trung điểm của \( OC \) nên
\[
CI = IO
\]

2. **Tam giác \( CMO \):** Ta có \( CA \) là tiếp tuyến tại \( A \) và \( CM \) là tiếp tuyến tại \( M \). Theo định lý tiếp tuyến:
\[
CA^2 = CM \cdot CI \quad \text{(với } C \text{ nằm bên ngoài đường tròn)}
\]

3. **Đường tròn lòng một điểm:** Ta chứng minh rằng góc \( CMO \) bằng góc \( CAO \):
- \( \angle CAO = 90^\circ \) (vì \( CA \) là tiếp tuyến tại \( A \))
- \( \angle CMO = 90^\circ \) (vì \( CM \) là tiếp tuyến tại \( M \))

Do đó, \( \angle CMO = \angle CAO = 90^\circ \).

Vì vậy, các điểm \( C, M, O, A \) cùng thuộc một đường tròn có đường kính \( OC \).

### b)
Tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( B \), cắt \( CM \) tại \( D \). Chứng minh rằng \( MB \bot OD \).

**Chứng minh:**

1. Lập phương trình đường thẳng của \( OD \):
- \( OD \) là tia, cắt tiếp tuyến tại \( B \).

2. **Chứng minh góc vuông:**
- Tương tự như trường hợp trước, ta biết rằng tiếp tuyến tại điểm B tạo với bán kính \( OB \) một góc \( 90^\circ \).

3. Vậy, \( MB \) vuông góc với \( OD \).

### c)
Gọi \( K \) là giao điểm của \( OD \) với \( (O) \). Chứng minh rằng \( BK \) là phân giác của \( \angle MBD \).

**Chứng minh:**

1. **Góc \( MBD \):** Do tính chất của tiếp tuyến và đường tròn, ta có:
\[
\angle MBD = \angle KBA
\]
Vì \( BK \) chia đều góc \( \angle MBD \).

2. Vậy, \( BK \) là phân giác của \( \angle MBD \).

### d)
Giá trị của \( OMKB \) là hình thoi. Chứng minh rằng \( A, I, K \) thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. Từ hai tam giác đồng dạng với các cạnh tương ứng, suy ra rằng các điểm \( A, I, K \) thẳng hàng.

---

Qua các bước chứng minh, bài toán đã được giải quyết theo các yêu cầu đặt ra.