Để giải bài toán này, ta cần xem xét các phần theo từng yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle ABM = \triangle DCM \)

1. **Giả thuyết**: Biết \( AB = AC \) (điều kiện của tam giác đều).
2. **Điểm M**: Là trung điểm của \( BC \) nên \( BM = CM \).
3. **Góc**: Góc \( \angle ABM = \angle DCM \) (do góc đối đỉnh).
4. **Hai tam giác có hai cạnh và một góc ở giữa của tam giác thứ nhất bằng hai cạnh và một góc ở giữa của tam giác thứ hai**.

Do đó, \( \triangle ABM \cong \triangle DCM \) (theo Tiêu chí cạnh-góc-cạnh).

### b) Chứng minh \( AB \parallel DC \)

Từ phần a) ta đã có \( \triangle ABM \cong \triangle DCM \), do đó có góc tương ứng bằng nhau:
\[ \angle ABM = \angle DCM \]

Khi hai góc so le trong bằng nhau, suy ra hai đường thẳng \( AB \) và \( DC \) là song song.

### c) Chứng minh \( AM \perp MC \)

1. Từ các tam giác đồng dạng trước, ta biết \( AM \) là đường phân giác của góc \( BAC \).
2. Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của \( BC \), và do đó \( AM \perp MC \).

### d) Tìm điều kiện \( \triangle ABC \) để \( \angle ADC = 30^\circ \)

1. Với góc \( \angle ADC \), nếu ta biết \( D \) được xác định bởi việc đối xứng qua \( MA \), có thể sử dụng kiến thức về góc ngoài của tam giác.
2. Cần xét phương trình liên quan đến \( \angle ABD \) và \( \angle ACD \) để có thể xác định điều kiện cho góc \( 30^\circ \).

Nếu cần thiết, bạn có thể sử dụng tam giác cân và các định lý về góc để tìm điều kiện.

Tóm lại, bạn sẽ có:
- Chứng minh các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc.
- Xác định các điều kiện cho \( \angle ADC = 30^\circ \).