Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD. Kẻ DH vuông góc AC tại H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của DH và HC. Gọi M là trung điểm của AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một vài tính chất của hình chữ nhật và một số định nghĩa cơ bản về trung điểm và các đoạn thẳng. Dưới đây là các phần yêu cầu trong bài toán:

**a) Chứng minh IK // AM:**

1. Gọi các điểm trong hình chữ nhật ABCD. Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b) với a > b.
2. Đoạn AC có tọa độ là điểm A(0, 0) đến điểm C(a, b), có vector chỉ phương là \( \vec{AC} = \left( a - 0, b - 0 \right) = (a, b) \).
3. DH vuông góc với AC nên vector chỉ phương của \( \vec{DH} \) sẽ là một vector vuông góc với \( \vec{AC} \). Gọi vector chỉ phương của DH là \( \vec{DH} = (-b, a) \).
4. Từ A(0, 0) đến M trung điểm AB là:
\[ M = \left( \frac{a}{2}, 0 \right). \]
5. Đoạn IC:
- Trung điểm DH là:
\[ I = \left( 0, y_I \right) \text{ với } y_I \text{ là tọa độ của H.} \]
- Trung điểm HC là:
\[ K = \left( \frac{a}{2}, y_K \right). \]

6. Do IK // AM chứng minh rằng vector chỉ phương \( \vec{IK} \) // \( \vec{AM} \).

**b) Chứng minh AIKM là hình bình hành:**

1. Trong AIKM, M là trung điểm của AB, H là điểm trên AC, và I là trung điểm đoạn DH.
2. Để AIKM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các đoạn AI và MK có độ dài bằng nhau và đồng thời là các đoạn IK và AM cũng bằng nhau.
3. Sử dụng tính chất trung điểm và chiều cao (từ A đến AC) có thể dễ dàng chứng minh rằng AI = MK và IK = AM. Khi đó, AIKM là hình bình hành.

**c) Chứng minh MK vuông góc DK:**

1. Đoạn DK sẽ nối từ điểm D đến K. D có tọa độ D(0, b) và K có tọa độ là \((\frac{a}{2}, y_K)\).
2. Để chứng minh MK vuông góc DK, ta xét vector DK và MK.
3. Tính độ dài và xác định góc giữa các đoạn:
\[
\vec{MK} = K - M = (\frac{a}{2}, y_K) - (\frac{a}{2}, 0) = (0, y_K)
\]
\[
\vec{DK} = K - D = (\frac{a}{2}, y_K) - (0, b) = (\frac{a}{2}, y_K - b)
\]

4. Để chứng minh vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng \( \vec{MK} \cdot \vec{DK} = 0 \):
\[
0 \cdot \frac{a}{2} + y_K \cdot (y_K - b) = 0.
\]

Điều này sẽ cho thấy MK vuông góc DK khi y_K có giá trị phù hợp với độ cao của K.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.