Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm \( A, B, O, C \) cùng thuộc một đường tròn và \( OA \perp BC \):

1. **Chứng minh bốn điểm \( A, B, O, C \) cùng thuộc một đường tròn**:
- Đường tròn đi qua ba điểm \( A, B, O \) và \( A, C, O \) nên \( O \) là tâm của đường tròn đi qua \( A, B, C \) vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến từ \( A \) đến đường tròn.
- Vì vậy, \( A \), \( B \), \( O \), \( C \) cùng nằm trên một đường tròn.

2. **Chứng minh \( OA \perp BC \)**:
- Vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến tại \( B \) và \( C \), nên \( OA \) vuông góc với cả \( AB \) tại \( B \) và \( AC \) tại \( C \).
- Từ đó, suy ra \( OA \perp BC \) (do \( AB \) và \( AC \) nằm trong mặt phẳng chứa \( BC \)).

### b) Vẽ đường kính \( BE \) của đường tròn \( O \), vẽ \( CI \perp BE \) tại \( I \), \( AE \) cắt \( CI \) tại \( K \). Chứng minh \( HK \parallel BE \):

1. **Vẽ đường kính \( BE \)**:
- Từ \( B \) và \( E \) (điểm đối diện với \( B \) trên đường tròn), vẽ đường kính bằng cách nối hai điểm này qua tâm \( O \).

2. **Chứng minh \( HK \parallel BE \)**:
- Vì \( CI \perp BE \) (với \( I \) là giao điểm), và \( AE \) cắt \( CI \) tại \( K \), từ tính chất của hình thang, chúng ta có:
- Nếu \( HK \) nằm trên đường thẳng cắt \( CI \) tại \( K \) và đặt \( H \) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng, thì hai đoạn thẳng này sẽ song song với nhau do đều vuông góc với đường thẳng \( CI \).

Với những bước chứng minh trên, bạn đã hoàn thành lời giải cho bài toán.