Để rút gọn biểu thức \( P = \left( \frac{x - 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn từng phần trong biểu thức \( P \)

1. **Rút gọn \(\frac{x - 1}{x + \sqrt{x}}\)**: Cố gắng tìm một cách hợp lý để chuẩn hóa biểu thức.

2. **Xem xét \(\frac{2}{\sqrt{x} - 1}\)**: Biến đổi mẫu số cho thích hợp với \((\sqrt{x} + 1)\).

### Bước 2: Tính toán \( P \)

Kết hợp các phần trên:
\[
P = \left( \frac{x - 1 + \frac{2(x + \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 1}}{x + \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{x + 1}
\]

### Bước 3: Đánh giá giá trị của \( P \) khi \( x = 4 + 2\sqrt{3} \)

1. Tính \(\sqrt{x} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\).
2. Thay giá trị vào biểu thức đã rút gọn.

Hãy nhớ rằng việc cụ thể hóa và tính toán sẽ yêu cầu sử dụng các phép nhân, chia, và đơn giản hóa cho đến khi có dạng đơn giản nhất. Bổ sung vào đó, chú ý đến mô hình và sự tồn tại của các giá trị bất khả thi trong biểu thức (như chia cho 0).

### Kết luận

Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ có một giá trị cụ thể cho \( P \) ở trạng thái đơn giản nhất. Hãy thực hiện từng bước cẩn thận để đảm bảo không có sai sót trong quá trình tính toán.