Để tính giá trị biểu thức \( P = (x-2)^{22} + (y-3)^{23} + (z-4)^{24} \), ta bắt đầu từ các điều kiện đã cho:

1. \( x + y + z = 9 \)
2. \( x^2 + y^2 + z^2 = 27 \)

### Bước 1: Tính \( xy + xz + yz \)

Theo công thức:
\[
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)
\]
Ta thay các giá trị đã cho vào công thức:

\[
9^2 = 27 + 2(xy + xz + yz)
\]
\[
81 = 27 + 2(xy + xz + yz)
\]
\[
54 = 2(xy + xz + yz)
\]
\[
xy + xz + yz = 27
\]

### Bước 2: Xác định \( x, y, z \)

Ta có hệ phương trình sau:
1. \( x + y + z = 9 \)
2. \( xy + xz + yz = 27 \)
3. \( x^2 + y^2 + z^2 = 27 \)

Từ phương trình thứ 1, ta có: \( z = 9 - x - y \)

Thay vào phương trình thứ 2:
\[
xy + x(9 - x - y) + y(9 - x - y) = 27
\]
Rút gọn:
\[
xy + 9x - x^2 - xy + 9y - xy - y^2 = 27
\]
\[
9x + 9y - x^2 - y^2 - xy = 27
\]
Thay vào phương trình \( x^2 + y^2 + (9 - x - y)^2 = 27 \) cũng sẽ cho kết quả tương tự, tuy nhiên ta có thể thử các giá trị thực tế.

Giả sử \( x = y = z = 3 \):
- \( 3 + 3 + 3 = 9 \)
- \( 3^2 + 3^2 + 3^2 = 27 \)

### Bước 3: Tính \( P \)

Thay \( x = 3, y = 3, z = 3 \) vào biểu thức \( P \):
\[
P = (3-2)^{22} + (3-3)^{23} + (3-4)^{24}
\]
\[
P = 1^{22} + 0^{23} + (-1)^{24}
\]
\[
P = 1 + 0 + 1 = 2
\]

Vậy giá trị cuối cùng của biểu thức \( P \) là:
\[
\boxed{2}
\]