Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác ABC, BC=a. Độ dài của vectơ AG là

Trong tam giác vuông tại A, chúng ta có thể đặt các điểm như sau:

- A(0, 0) (góc vuông ở A)
- B(a, 0)
- C(0, b) (vì BC = a)

Trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng trung bình tọa độ của ba đỉnh A, B, và C:

\[
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + b}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3} \right)
\]

Tiếp theo, chúng ta tính toán độ dài của vectơ AG:

\[
AG = G - A = \left( \frac{a}{3} - 0, \frac{b}{3} - 0 \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3} \right)
\]

Độ dài của vectơ AG được tính theo công thức:

\[
|AG| = \sqrt{\left( \frac{a}{3} \right)^2 + \left( \frac{b}{3} \right)^2} = \frac{1}{3} \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Biến đổi này được thực hiện bằng cách lấy căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần của vectơ.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore, độ dài cạnh huyền BC là:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2 \text{, với c là độ dài cạnh BC}
\]

Vậy:

\[
|AG| = \frac{1}{3} \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Kết thúc, độ dài của vectơ AG là:

\[
\frac{1}{3} \sqrt{a^2 + b^2}
\]