Chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM là hình thoi.
AM = MB: Vì M là trung điểm của BC nên AM = MB.
Tứ giác ANBM là hình thoi:
AB // MN (do HN = HM và AN = BM)
AN = BM (theo cách vẽ)
AB = MN (do ABMN là hình bình hành) Vậy ANBM là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thoi.
2. Chứng minh DM ⊥ BC và ΔBDC cân.
DM ⊥ BC:
Ta có: AN ⊥ BN (gt) mà AN // BC (do ANBM là hình thoi) ⇒ BN ⊥ BC
DM // BN (do ANBM là hình thoi) ⇒ DM ⊥ BC
ΔBDC cân:
DM ⊥ BC (cmt)
BD ⊥ BN (gt) ⇒ BD // MC
Mà BM = MC (M là trung điểm BC) ⇒ BD = MC
Mặt khác, BN = MC (ANBM là hình thoi) ⇒ BD = BN ⇒ ΔBDC cân tại B.
3. Chứng minh B là trung điểm của NJ và MI // JK.
B là trung điểm của NJ:
Ta có: HP // NJ (gt) và HM = HN ⇒ MP = JN (tính chất đường trung bình của hình thang)
Mà BM = MN (ANBM là hình thoi) ⇒ BP = BN ⇒ B là trung điểm của NJ.
MI // JK:
Ta có: HP // NJ (gt) và I là trung điểm của HP ⇒ MI là đường trung bình của hình thang HPJN ⇒ MI // JN // JK