Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác ABC và điểm D, chúng ta sẽ làm theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác DCM.

Để chứng minh hai tam giác ABM và DCM bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) hoặc tiêu chí góc-cạnh-góc (GCG).

1. **Chứng minh AM = CM và AB = DC:**
- Vì M là trung điểm của BC, nên \(BM = MC\).
- Theo điều kiện cho trước, \(AM = MD\). Vì \(AM\) nối từ A tới M và \(MD\) nối từ M đến D trên tia đối với AM, ta có \(AM = MD\).

2. **Chứng minh góc AMB = góc DMC:**
- Vì M là trung điểm của BC, ta có \(AB = AC\) nên góc \(AMB\) và góc \(DMC\) đối xứng qua đường thẳng AM.

Vì vậy, ta có:
- \(AB = DC\) (cạnh tương ứng),
- \(BM = MC\) (cạnh tương ứng),
- \(AM = MD\) (cạnh tương ứng).

Từ đó, ta suy ra rằng tam giác ABM bằng tam giác DCM.

### b) Chứng minh AB // DC.

Để chứng minh \(AB \parallel DC\), chúng ta sử dụng tính chất của hai tam giác đã chứng minh bên trên.

- Theo tiêu chí đồng dạng, khi hai tam giác bằng nhau, các cạnh tương ứng tạo thành các góc tương ứng vuông góc với nhau. Áp dụng vào các tam giác ABM và DCM, ta có:
\[
\angle AMB = \angle DMC
\]

- Do đó, nếu một cặp góc này tương ứng, thì \(AB\) và \(DC\) là song song do góc đồng vị.

### c) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Để chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, ta cần chỉ ra rằng AM có hai tính chất:
1. AM cắt BC tại M
2. Các đoạn BM và MC bằng nhau.

- Đầu tiên, từ tính chất của trung điểm, ta có: \(BM = MC\).
- Thứ hai, vì D được đặt trên tia đối của AM sao cho \(AM = MD\) nên theo đồng dạng và vừa chứng minh, AM chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, AM là trung trực của đoạn thẳng BC.

### Kết Luận:
1. Tam giác ABM = tam giác DCM (bằng nhau).
2. AB // DC.
3. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy bài toán đã được chứng minh.