Để giải bài toán, ta bắt đầu với các thông tin cho trước:

- Khi vật được treo trong không khí, lực kế chỉ F₁ = 15 N.
- Khi vật được nhúng hoàn toàn trong nước, lực kế chỉ F₂ = 9 N.
- Khối lượng riêng của nước ρ_nước = 1000 kg/m³.

**Bước 1: Tính trọng lượng của vật**

Trọng lượng của vật được tính theo công thức:
\[
P = F₁
\]
Do đó:
\[
P = 15 \, \text{N}
\]

**Bước 2: Tính lực đẩy của nước**

Khi vật được nhúng trong nước, lực đẩy Archimedes sẽ làm giảm trọng lượng mà lực kế đo được. Chênh lệch giữa trọng lượng trong không khí và trọng lượng khi nhúng trong nước tương ứng với lực đẩy của nước:
\[
F_{\text{đẩy}} = F₁ - F₂
\]
Thay số vào:
\[
F_{\text{đẩy}} = 15 \, \text{N} - 9 \, \text{N} = 6 \, \text{N}
\]

**Bước 3: Tính thể tích của vật**

Lực đẩy của nước được tính theo công thức:
\[
F_{\text{đẩy}} = \rho_{\text{nước}} \cdot V \cdot g
\]
Trong đó:
- \( V \) là thể tích của vật.
- \( g \) là gia tốc trọng trường (khoảng 9.81 m/s²).

Sử dụng giá trị của \( \rho_{\text{nước}} \):
\[
6 = 1000 \cdot V \cdot 9.81
\]

Giải phương trình để tìm \( V \):
\[
V = \frac{6}{1000 \cdot 9.81} \approx 0.000612 \, \text{m}^3 \, \text{(hay 612 cm}^3\text{)}
\]

**Bước 4: Tính khối lượng riêng của vật**

Khối lượng của vật được tính từ trọng lượng:
\[
m = \frac{P}{g} = \frac{15}{9.81} \approx 1.53 \, \text{kg}
\]

Khối lượng riêng của vật được tính theo công thức:
\[
\rho_{\text{vật}} = \frac{m}{V}
\]
Thay số vào:
\[
\rho_{\text{vật}} = \frac{1.53}{0.000612} \approx 2500 \, \text{kg/m}^3
\]

**Kết quả:**
- Thể tích của vật \( V \approx 0.000612 \, \text{m}^3 \) (hay 612 cm³).
- Trọng lượng riêng của vật \( \rho_{\text{vật}} \approx 2500 \, \text{kg/m}^3 \).